Ciągi, Funkcje i ich własności, Kombinatoryka i logika, Liczby całkowite, Liczby rzeczywiste, Nierówności, Planimetria, Rachunek prawdopodobieństwa, Równania funkcyjne, Równania wielomianowe, Stereometria, Wielomiany

LIX OM - III -Zadanie 2

Funkcja $f(x, y, z)$ trzech zmiennych rzeczywistych spełnia dla dowolnych liczb rzeczywistych $a, b, c, d, e$ zależność

$ f (a, b, c)+f (b, c, d)+f (c, d, e)+f (d, e, a)+f (e, a, b)= a +b + c +d +e. $

Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x_1, x_2, \dots, x_n$ ( $n \geqslant 5$ ) prawdziwa jest równość

$ f(x_1 ,x_2 ,x_3 )+f(x_2 ,x_3 ,x_4 )+\dots +f(x_n ,x_1 ,x_2 )= x_1 +x_2 + \dots +x_n . $

W pola tablicy rozmiaru $n \times n$ wpisane są liczby $1, 2, \dots , n^2$ , przy czym liczby $1, 2, \dots , n$ znajdują
się w pierwszym wierszu (od strony lewej do prawej), liczby $n +1, n +2, \dots ,2n$ w drugim, itd.

Wybrano $n$ pól tablicy, z których żadne dwa nie leżą w jednym wierszu ani w jednej kolumnie. Niech $a_i$ będzie liczbą
znajdującą się w tym wybranym polu, które leży w wierszu o numerze $i$ . Dowieść, że

$ \frac{1^2}{a_1} + \frac{2^2}{a_2} + \dots + \frac{n^2}{a_n} \geqslant \frac{n+2}{2} - \frac{1}{n^2+1} $

LIX OM - II -Zadanie 6

Dana jest liczba całkowita dodatnia $n$ niepodzielna przez 3. Udowodnić, że istnieje liczba $m$ o następującej własności:
Każda liczba całkowita nie mniejsza niż $m$ jest sumą cyfr pewnej wielokrotności liczby $n$ .

LIX OM - II -Zadanie 5

Dany jest trójkąt $ABC$ , w którym $AC = BC$ . Punkt $D$ leży na boku $AB$ tego trójkąta, przy czym $AD < BD$ . Punkt
$E$ jest symetryczny do punktu $A$ względem prostej $CD$ . Wykazać, że

$ \frac{AC}{CD} = \frac{BE}{BD-AD} $

LIX OM - II -Zadanie 4

W każdym polu kwadratowej tablicy o rozmiarach $n \times n$ napisana jest liczba całkowita. Możemy wielokrotnie
wykonywać następującą operację: Wybieramy dowolne pole tabeli i zmniejszamy wpisaną weń liczbę o liczbę pól sąsiednich
(mających wspólny bok z wybranym polem), zaś każdą z liczb wpisanych w pola sąsiednie zwiększamy o 1.

Dla każdej liczby całkowitej $n \geqslant 2$ rozstrzygnąć, czy z dowolnej początkowej tabeli, w której suma wszystkich
$n^2$ liczb jest równa zeru, można otrzymać tabelę składającą się z samych zer.

LIX OM - II -Zadanie 3

Wyznaczyć wszystkie takie funkcje $f$ , określone na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych i przyjmujące
wartości rzeczywiste, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$ zachodzi równość

$ (1)\qquad f(f(x)-y)= f(x)+f(f(y)-f(-x))+x. $

LIX OM - II -Zadanie 2

W pięciokącie wypukłym $ABCDE$ spełnione są zależności

$ \measuredangle ABD &= \measuredangle ACE,& \measuredangle ACB &= \measuredangle ACD, \\ \measuredangle ADC &= \measuredangle ADE,& \measuredangle ADB &= \measuredangle AEC. $

Odcinki $BD$ i $CE$ przecinają się w punkcie $S$ . Dowieść, że proste $AS$ i $CD$ są prostopadłe.

LIX OM - II -Zadanie 1

Wyznaczyć największą możliwą długość ciągu kolejnych liczb całkowitych, z których każdą można przedstawić w
postaci $x^3 +2y^2$ dla pewnych liczb całkowitych $x, y$ .

LIX OM - I -Zadanie 12

Dana jest liczba całkowita $m \geqslant 2$ . Wyznaczyć najmniejszą taką liczbę całkowitą
$n \geqslant m$ , że dla każdego rozbicia zbioru $\{m,m+1,\dots ,n\}$ na dwa podzbiory, przynajmniej jeden z
tych podzbiorów zawiera takie liczby $a, b, c$ (niekoniecznie różne), że $ab = c$ .

LIX OM - I -Zadanie 11

Punkty $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6, P_7$ leżą odpowiednio na bokach $BC, CA, AB, BC, CA, AB, BC$
trójkąta $ABC$ , przy czym spełnione są równości

$ \measuredangle P_1P_2C =\measuredangle AP_2P_3 =\measuredangle P_3P_4B =\measuredangle CP_4P_5 =\measuredangle P_5P_6A=\measuredangle BP_6P_7 =60^{\circ}. $

Dowieść, że $P_1 = P_7$ .

Olimpiady Matematyczne