Olimpiada Matematyczna, Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna, Austriacko-Polskie Zawody Matematyczne, Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich, Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne, Środkowo-Europejska Olimpiada Matematyczna

XVIII ZMPB - Zadanie 19

Dane są dodatnie liczby całkowite $ r $ i $ k $. Wszystkie dzielniki pierwsze liczby $ r $ są większe od 50.

Dodatnią liczbę całkowitą, której zapis dziesiętny (bez zer początkowych) ma co najmniej $ k $ cyfr, nazwiemy ładną, jeżeli każdy ciąg $ k $ kolejnych cyfr tego zapisu przedstawia liczbę (być może z zerami początkowymi) podzielną przez $ r $.

Dowieść, że jeżeli istnieje nieskończenie wiele liczb ładnych, to liczba $ 10^k-1 $ też jest ładna.

XVIII ZMPB - Zadanie 18

Niech $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ będą takimi liczbami całkowitymi różnymi od zera, że jedyną czwórką liczb całkowitych $ (x,y,z,t) $ spełniającą równanie

\[<br /> ax^2+by^2+cz^2+dt^2=0<br /> \]

jest $ x=y=z=t=0 $. Czy wynika stąd, że liczby $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ mają jednakowy znak?

XVIII ZMPB - Zadanie 17

Niech $ x $, $ y $, $ z $ będą takimi dodatnimi liczbami całkowitymi, że liczba

\[<br /> {x+1\over y}+{y+1\over z}+{z+1\over x}<br /> \]

jest całkowita. Niech $ d $ oznacza największy wspólny dzielnik liczb $ x $, $ y $ oraz $ z $. Udowodnić, że

\[<br /> d\le\sqrt[3]{xy+yz+zx}.<br /> \]

XVIII ZMPB - Zadanie 16

Niech $ a $ i $ b $ będą takimi liczbami wymiernymi, że

\[<br /> s=a+b=a^2+b^2.<br /> \]

Wykazać, że liczbę $ s $ można zapisać w postaci ułamka, którego mianownik jest względnie pierwszy z liczbą 6.

XVIII ZMPB - Zadanie 15

Okrąg wpisany w trójkąt $ ABC $ jest styczny do boku $ AC $ w punkcie $ D $. Inny okrąg przechodzi przez punkt $ D $ i jest styczny do półprostych $ BC $ i $ BA $ - do drugiej z nich w punkcie $ A $. Obliczyć stosunek $ AD/DC $.

XVIII ZMPB - Zadanie 14

W czworokącie wypukłym $ ABCD $ zachodzi równość $ \measuredangle ADC=90^\circ $. Punkty $ E $ i $ F $ są rzutami prostokątnymi punktu $ B $ odpowiednio na proste $ AD $ i $ AC $. Załóżmy, że punkt $ F $ leży między $ A $ i $ C $, punkt $ A $ leży między $ D $ i $ E $, zaś prosta $ EF $ przechodzi przez środek odcinka $ BD $. Dowieść, że na czworokącie $ ABCD $ można opisać okrąg.

XVIII ZMPB - Zadanie 13

Niech $ t_1 $, $ t_2 $, $ \ldots $, $ t_k $ będą różnymi prostymi w przestrzeni ($ k>1 $). Udowodnić, że istnieją takie punkty $ P_i $ na $ t_i $ ($ i=1,2,\ldots,k $), że $ P_{i+1} $ jest rzutem prostokątnym $ P_i $ na prostą $ t_{i+1} $ ($ i=1,2,\ldots,k-1 $), a $ P_1 $ jest rzutem prostokątnym $ P_k $ na prostą $ t_1 $.}

XVIII ZMPB - Zadanie 12

Punkt $ M $ leży na tym łuku $ AB $ okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $, który nie zawiera punktu $ C $. Załóżmy, że rzuty prostokątne punktu $ M $ na proste $ AB $ i $ BC $ leżą na samych bokach, a nie na ich przedłużeniach. Oznaczmy te rzuty odpowiednio przez $ X $ i $ Y $. Niech $ K $ i $ N $ będą odpowiednio środkami odcinków $ AC $ i $ XY $. Dowieść, że $ \measuredangle MNK=90^\circ $.

XVIII ZMPB - Zadanie 11

W trójkącie $ ABC $ odcinki $ AD $, $ BE $ i $ CF $ są wysokościami. Punkty $ P $, $ Q $, $ R $ i $ S $ spełniają następujące warunki:

  1. $ P $ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $.

  2. Długości odcinków $ PQ $, $ QR $ i $ RS $ są równe promieniowi okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $.

  3. Odcinek zorientowany $ PQ $ ma ten sam kierunek i zwrot, co odcinek zorientowany $ AD $. Podobnie, odcinek $ QR $ ma ten sam kierunek i zwrot, co $ BE $, zaś odcinek $ RS $ ma ten sam kierunek i zwrot, co $ CF $.

Wykazać, że punkt $ S $ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ ABC $.

XVIII ZMPB - Zadanie 10

Dana jest tablica $ 18\times 18 $, której każde pole może być białe albo czarne. Początkowo wszystkie pola są białe. Możemy wykonywać następującą operację: wybieramy kolumnę lub wiersz i zmieniamy kolory wszystkich pól w tej kolumnie lub wierszu. Czy wykonując wielokrotnie taką operację możemy otrzymać tablicę, w której będzie dokładnie 16 czarnych pól?

Subskrybuje zawartość