Ciągi, Funkcje i ich własności, Kombinatoryka i logika, Liczby całkowite, Liczby rzeczywiste, Nierówności, Planimetria, Rachunek prawdopodobieństwa, Równania funkcyjne, Równania wielomianowe, Stereometria, Wielomiany

LIX OM - I -Zadanie 10

Dana jest liczba pierwsza p. Ciąg liczb całkowitych dodatnich $ a_1, a_2, a_3, \dots $ spełnia warunek

\[<br /> (1) \qquad a_{n+1} = a_n +p\left[ \sqrt[p]{a_n} \right]\quad \text{dla } n =1, 2,3,\dots.<br /> \]

Wykazać, że pewien wyraz tego ciągu jest $ p $-tą potęgą liczby całkowitej.
(Uwaga: Symbol $ [x] $ oznacza największą liczbę całkowitą nie przekraczającą $ x $.)

LIX OM - I -Zadanie 9

Wyznaczyć najmniejszą liczbę rzeczywistą a o następującej własności:

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x, y, z \geqslant a $ spełniających warunek $ x +y + z = 3 $
prawdziwa jest nierówność

\[<br /> x^3 + y^3 + z^3 \geqslant 3.<br /> \]

LIX OM - I -Zadanie 8

Dany jest ostrosłup czworokątny $ ABCDS $ o podstawie czworokąta wypukłego $ ABCD $. Sfera wpisana w ten
ostrosłup jest styczna do ściany $ ABCD $ w punkcie $ P $. Dowieść, że

\[<br /> \measuredangle APB + \measuredangle CPD = 180^{\circ}.<br /> \]

LIX OM - I -Zadanie 7

W $ n $-osobowym stowarzyszeniu działa $ 2n-1 $ komisji (każdy niepusty zbiór członków stowarzyszenia
tworzy komisję). W każdej komisji należy wybrać przewodniczącego. Wymagany jest przy tym warunek: Jeżeli
komisja $ C $ jest sumą $ C = A\cup B $ dwóch komisji $ A $ i $ B $, to przewodniczący komisji $ C $ jest też
przewodniczącym co najmniej jednej z komisji $ A $, $ B $. Wyznaczyć liczbę możliwych wyborów przewodniczących.

LIX OM - I -Zadanie 6

Wyznaczyć wszystkie takie wielomiany $ W(x) $ o współczynnikach rzeczywistych, że dla każdej liczby
rzeczywistej $ x $ spełniona jest równość

\[<br /> (1) \qquad W(x^2)\cdot W (x^3)=(W (x))^5.<br /> \]

LIX OM - I -Zadanie 5

Znaleźć wszystkie takie trójki liczb pierwszych $ (p,q,r) $, że liczby

\[<br /> pq + qr + rp \quad \text{oraz} \quad p^3+q^3+r^3-2pqr<br /> \]

są podzielne przez $ p+ q +r $.

LIX OM - I -Zadanie 4

Dana jest liczba całkowita $ n \geqslant 1 $. Każdemu niepustemu podzbiorowi $ A $ zbioru $ \{1, 2,\dots ,n\} $
przyporządkowujemy liczbę $ w(A) $ w następujący sposób: Jeżeli $ a_1 >a_2 >\dots >a_k $ są wszystkimi elementami
zbioru A, to

\[<br /> (1)\qquad w(A)= a_1 -a_2 +a_3 -\dots +(-1)^{k+1} a_k.<br /> \]

Obliczyć sumę wszystkich $ 2n-1 $ otrzymanych liczb $ w(A) $.

LIX OM - I -Zadanie 3

Ciąg liczb całkowitych $ a_1, a_2, a_3, \dots $ jest określony przez warunki: $ a_1 = 1, a_2 = 2 $,

\[<br /> (1)\qquad a_n =3a_n-1 +5a_{n-2} \quad\text{ dla }n =3,4,5,\dots .<br /> \]

Rozstrzygnąć, czy istnieje taka liczba całkowita $ k \geqslant 2 $, że liczba $ a_k $ jest dzielnikiem
iloczynu $ a_{k+1}a_{k+2} $.

LIX OM - I -Zadanie 2

Dany jest kąt wypukły o wierzchołku $ P $ i punkt $ A $ leżący wewnątrz tego kąta. Punkty $ X $ i $ Y $ leżą na różnych
ramionach tego kąta, przy czym $ PX = PY $ oraz wartość sumy $ AX +AY $ jest najmniejsza. Wykazać, że
$ \measuredangle XAP = \measuredangle YAP $.

Subskrybuje zawartość