Olimpiada Matematyczna

LX OM - III - Zadanie 6

Niech $n \geqslant$ 3 będzie liczbą naturalną. Ciąg liczb nieujemnych
$(c_0,c_1,\cdots ,c_n)$ spełnia warunek

$ (1) \qquad c_pc_s + c_rc_t = c_{p+r}c_{r+s} $

dla wszystkich $p, r, s, t \geqslant 0$ takich, że $p + r + s + t = n$ . Wyznaczyć wszystkie możliwe
wartości $c_2$ , jeśli $c_1 =1$ .

Sfera wpisana w czworościan $ABCD$ jest styczna do jego ścian $BCD, ACD, ABD, ABC$ odpowiednio w punktach
$P, Q, R, S$ . Odcinek $PT$ jest średnicą tej sfery, zaś punkty $A',Q',R',S'$ są punktami przecięcia prostych
$TA, TQ, TR, TS$ z płaszczyzną $BCD$ . Wykazać, że $A'$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $Q'R'S'$ .

LX OM - III - Zadanie 4

Niech $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ będą liczbami nieujemnymi, których suma wynosi 1. Udowodnić, że istnieją
liczby $a1,a2,\cdots ,an \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ takie, że $(a_1,a_2,\cdots ,a_n) \neq (2, 2,\cdots , 2)$ oraz

$ 2 \leqslant a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n \leqslant 2+ \frac{2}{3^n-1}. $

LX OM - III - Zadanie 3

Niech $P, Q, R$ będą wielomianami stopnia co najmniej jeden, o współczynnikach rzeczywistych,
spełniającymi dla każdej liczby rzeczywistej $x$ równości

$ P(Q(x)) = Q(R(x)) = R(P (x)). $

Wykazać, że $P = Q = R$ .

LX OM - III - Zadanie 2

Niech $S$ będzie zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny o obu współrzędnych całkowitych. Znaleźć
najmniejszą liczbę całkowitą dodatnią $k$ , dla której istnieje 60–elementowy podzbiór zbioru $S$
o następującej własności: Dla dowolnych dwóch różnych elementów $A$ i $B$ tego podzbioru istnieje taki punkt
$C \in S$ , że pole trójkąta $ABC$ jest równe $k$ .

LX OM - III - Zadanie 1

Każdy z wierzchołków sześciokąta wypukłego jest środkiem koła o promieniu równym
długości nie dłuższego z boków sześciokąta zawierających ten wierzchołek. Udowodnić,
że jeśli część wspólna wszystkich sześciu kół (rozważanych wraz z brzegiem) jest
niepusta, to sześciokąt jest foremny.

LX OM - II - Zadanie 6

Dla każdej liczby całkowitej $n \geqslant 3$ wyznaczyć wszystkie ciągi liczb rzeczywistych
$(x_1,x_2, \cdots ,x_n)$ , dla których

$ \sum_{i=1}^n x_i = n \quad \text{ oraz } \sum_{i=1}^n (x_{i-1} -x_i + x_{i+1})^2 = n, $

gdzie przyjmujemy $x_0 = x_n$ i $x_{n+1} = x_1$ .

LX OM - II - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite $n\geqslant 4$ o następującej własności: Spośród dowolnych $n$
różnych 3-elementowych podzbiorów zbioru $n$ -elementowego można wybrać dwa podzbiory, które mają dokładnie
jeden element wspólny.

LX OM - II - Zadanie 4

Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu o opisanego na czworokącie wypukłym $ABCD$ , którego przekątne
przecinają się w punkcie $E$ . Proste styczne do okręgu o w punktach $C$ i $D$ przecinają się w punkcie
$P$ .

Udowodnić, że $PC = PE$ .

LX OM - II - Zadanie 3

Rozłączne okręgi $o_1$ i $o_2$ o środkach odpowiednio $I_1$ i $I_2$ są styczne do prostej
$k$ odpowiednio w punktach $A_1$ i $A_2$ oraz leżą po tej samej jej stronie. Punkt $C$ leży na odcinku
$I_1I_2$ , przy czym $\meqsuredangle A_1CA_2 =90^{\circ}$ . Dla $i=1,2$ niech $B_i$ będzie punktem różnym od
$A_i$ , w którym prosta $A_iC$ przecina okrąg $o_i$ . Dowieść, że prosta $B_1B_2$ jest styczna do okręgów
$o_1$ i $o_2$ .