Ciągi, Funkcje i ich własności, Kombinatoryka i logika, Liczby całkowite, Liczby rzeczywiste, Nierówności, Planimetria, Rachunek prawdopodobieństwa, Równania funkcyjne, Równania wielomianowe, Stereometria, Wielomiany

LX OM - II - Zadanie 2

Dane są takie liczby całkowite $a$ i $b$ , że $a>b> 1$ oraz liczba $ab +1$ jest podzielna przez $a+b$ ,
zaś liczba $ab-1$ jest podzielna przez $a-b$ .

Wykazać, że $a<b\sqrt{3}$ .

LX OM - II - Zadanie 1

Liczby rzeczywiste $a_1, a_2, \cdots , a_n$ $(n \geqslant 2)$ spełniają warunek
$a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n > 0$ . Udowodnić nierówność

$ a_1a_2 \cdots a_{n-1} +(2a_2 -a_1)(2a_3 -a_2) \cdots (2a_n -a_{n-1}) \geqslant 2a_2a_3 \cdots a_n. $

Dana jest liczba pierwsza $p$ . Po lewej stronie tablicy napisano liczby $1, 2, 3, \cdots, p - 1$ ,
zaś po prawej stronie liczbę $0$ . Wykonujemy ciąg $p - 1$ ruchów, z których każdy przebiega
następująco: Wybieramy jedną z liczb napisanych po lewej stronie tablicy, dodajemy ją do wszystkich
pozostałych liczb na tablicy, po czym wymazujemy wybraną liczbę.

Rozstrzygnąć, dla jakich wartości
$p$ można w kolejnych ruchach wybierać liczby w taki sposób, by liczba pozostała na tablicy po
wykonaniu wszystkich ruchów była podzielna przez p.

LX OM - I - Zadanie 11

Udowodnić, że dla dowolnych liczb całkowitych
$k>m \geqslant 1$ spełniona jest nierówność

$ \frac{\sqrt[k]{k!}}{\sqrt[m]{m!}} < \frac{k}{m} $

LX OM - I - Zadanie 10

Punkt $P$ jest środkiem krótszego łuku $BC$ okręgu opisanego na
trój kącie $ABC$ , w którym $\measuredangle BAC =60^{\circ}$ . Punkt $M$ jest środkiem
odcinka łączącego środki dwóch okręgów dopisanych do danego trójkąta,
stycznych odpowiednio do boków $AB$ i $AC$ . Wykazać, że $PM =2\cdot BP$

(Uwaga: Okrąg dopisany do trójkąta to okrąg styczny do jednego
z boków trójkąta oraz do przedłużeń dwóch pozostałych boków.)

LX OM - I - Zadanie 9

Dana jest tablica $2008 \times 2008$ . Dwaj gracze na przemian
wykonują ruchy, z których każdy polega na wybraniu białego albo
czarnego pionka i postawieniu go na wybranym wolnym polu. Wygrywa
ten, którego ruch doprowadził do powstania ciągu 5 kolejnych
pionków tego samego koloru w linii pionowej, poziomej lub ukośnej.

Zbadać, czy istnieje strategia dla gracza rozpoczynającego grę
zapewniająca mu zwycięstwo.

LX OM - I - Zadanie 8

Przekątne podstawy $ABCD$ ostrosłupa $ABCDS$ przecinają się pod
kątem prostym w punkcie $H$ , będącym spodkiem wysokości ostrosłupa.
Niech $K$ , $L$ , $M$ , $N$ będą rzutami prostokątnymi punktu $H$
odpowiednio na ściany $ABS$ , $BCS$ , $CDS$ , $DAS$ . Dowieść, że proste
$KL$ , $MN$ i $AC$ są równoległe lub przecinają się w jednym punkcie.

LX OM - I - Zadanie 7

Ciąg liczb całkowitych $f_0, f_1, f_2, \cdots$ jest określony
przez warunki: $f_0 = 0, f_1 = 1$ ,

$ (1) \qquad f_n = f_{n-1} + f_{n-2} \text{ dla } n =2,3,4, \cdots. $

Znaleźć wszystkie wielomiany W o współczynnikach całkowitych,
mające następującą własność: Dla każdego $n =0, 1, 2, \cdots$
istnieje taka liczba całkowita $k$ , że $W(k)= f_n$ .

LX OM - I - Zadanie 6

Dany jest trójkąt $ABC$ , w którym $AB = AC$ . Na półprostych
$AB$ i $AC$ obrano odpowiednio takie punkty $K$ i $L$ leżące poza bokami
trójkąta, że

$ (1)\qquad 4\cdot BK \cdot CL = BC^2. $

Punkt $M$ jest środkiem boku $BC$ . Proste $KM$ i $LM$ przecinają
po raz drugi okrąg opisany na trójkącie $AKL$ odpowiednio
w punktach $P$ i $Q$ . Wykazać, że proste $PQ$ i $BC$ są równoległe.

LX OM - I - Zadanie 5

Dla każdej liczby całkowitej $n \geqslant 1$ wyznaczyć największą
możliwą liczbę różnych podzbiorów zbioru $\{1,2,3, \cdots,n\}$ o
następującej własności: Dowolne dwa z tych podzbiorów są rozłączne
lub jeden z nich zawiera się w drugim.

Olimpiady Matematyczne