Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

LX OM - I - Zadanie 5

Dla każdej liczby całkowitej $ n \geqslant 1 $ wyznaczyć największą
możliwą liczbę różnych podzbiorów zbioru $ \{1,2,3, \cdots,n\} $ o
następującej własności: Dowolne dwa z tych podzbiorów są rozłączne
lub jeden z nich zawiera się w drugim.

LX OM - I - Zadanie 4

Udowodnić, że dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych
$ a $, $ b $, $ c $ prawdziwa jest nierówność

\[4(\sqrt{a^3b^3} + \sqrt{b^3c^3} + \sqrt{c^3a^3}) \leqslant 4c^3 +(a+b)^3.\]

LX OM - I - Zadanie 3

Okrąg wpisany w trójkąt $ ABC $ jest styczny do boków $ BC $, $ CA $, $ AB $ odpowiednio w punktach
$ D $, $ E $, $ F $ . Punkty $ M $, $ N $, $ J $ są odpowiednio środkami okręgów wpisanych w trójkąty
$ AEF $ , $ BDF $ , $ DEF $ . Dowieść, że punkty $ F $ i $ J $ są symetryczne względem prostej $ MN $.

LX OM - I - Zadanie 2

Dana jest liczba całkowita $ n \geq 2 $. Niech $ r_1, r_2, r_3, \cdots, r_{n-1} $ będą odpowiednio
resztami z dzielenia liczb

\[<br /> 1, 1+2, 1+2+3, \cdots, 1+2+ \cdots +(n-1)<br /> \]

przez $ n $. Znaleźć wszystkie takie wartości $ n $, że ciąg $ (r_1,r_2,\cdots,r_{n-1}) $ jest permutacją
ciągu $ (1, 2, \cdots,n-1) $.

LX OM - I - Zadanie 1

Na niektórych polach szachownicy rozmiaru $ m\times n $ ustawiono wieże.
Wiadomo, że dowolna wieża znajduje się w polu rażenia co najwyżej
dwóch innych wież.

Wyznaczyć, w zależności od $ m, n \geq 2 $, największą liczbę wież na szachownicy,
dla której taka sytuacja jest możliwa.

Subskrybuje zawartość