Olimpiada Matematyczna, Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna, Austriacko-Polskie Zawody Matematyczne, Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich, Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne, Środkowo-Europejska Olimpiada Matematyczna

I OM - B - Zadanie 6

Dowieść, że liczba, która w dziesiątkowym układzie
pozycyjnym wyraża się za pomocą 91 jedynek, jest liczbą złożoną.

Motorówka wyruszyła o godzinie 9 w górę rzeki i w tym
samym momencie wrzucono z motorówki do rzeki piłkę. O godzinie 9
minut 15 motorówka zawróciła i popłynęła w dół rzeki. O której
godzinie motorówka dogoni piłkę?

I OM - B - Zadanie 4

Znaleźć dwie liczby naturalne $a$ i $b$ mając ich największy wspólny podzielnik
$D=12$ oraz najmniejszą wspólną wielokrotność $M=432$ . Podać sposób poszukiwania
rozwiązań w przypadku ogólnym.

I OM - B - Zadanie 3

Ktoś ma wagę dwuramienną nierzetelną (tzn. wagę,
której ramiona są nierówne). Chcąc odważyć 2 kg cukru postępuje
w sposób następujący: kładzie ciężarek 1 kg na lewej szalce wagi,
a na prawą szalkę sypie cukier aż do zrównoważenia; następnie:
opróżniwszy obie szalki kładzie ciężarek 1 kg na prawej szalce, a na
lewą sypie cukier aż do zrównoważenia. Czy odważone w ten sposób dwie
ilości cukru stanowią razem mniej, czy więcej, czy też dokładnie
2 kg?

I OM - B - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli liczba $a$ jest sumą kwadratów dwóch różnych liczb
naturalnych, to $a^2$ jest sumą kwadratów dwóch liczb naturalnych.

I OM - B - Zadanie 1

Wyznaczyć współczynniki $a$ i $b$ , równania $x^2 + ax +b=0$ tak, aby same wartości $a$ i $b$ były pierwiastkami tego równania.

Czytaj dalej

LIX OM - III -Zadanie 6

Niech $S$ będzie zbiorem wszystkich dodatnich liczb całkowitych, które można przedstawić w postaci $a^2 +5b^2$
dla pewnych względnie pierwszych liczb całkowitych $a$ i $b$ . Niech ponadto $p$ będzie liczbą pierwszą dającą resztę
3 z dzielenia przez 4. Wykazać, że jeżeli pewna dodatnia wielokrotność liczby $p$ należy do zbioru $S$ , to również liczba
$2p$ należy do zbioru $S$ .

LIX OM - III -Zadanie 5

Pola wszystkich przekrojów równoległościanu $\mathcal{R}$ płaszczyznami przechodzącymi przez środki trzech jego krawędzi,
z których żadne dwie nie są równoległe i nie mają punktów wspólnych, są równe. Udowodnić, że równoległościan
$\mathcal{R}$ jest prostopadłościanem.

LIX OM - III -Zadanie 4

Każdy punkt płaszczyzny o obu współrzędnych całkowitych pomalowano na biało albo na czarno. Dowieść, że ze zbioru w
szystkich pomalowanych punktów można wybrać nieskończony podzbiór, który ma środek symetrii i którego wszystkie punkty
mają ten sam kolor.

LIX OM - III -Zadanie 3

W pięciokącie wypukłym $ABCDE$ , w którym $BC = DE$ , zachodzą równości

$<br /> \measuredangle ABE = \measuredangle CAB = \measuredangle AED - 90^{\circ} \text{ oraz }\measuredangle ACB = \measuredangle ADE.<br />$

Dowieść, że czworokąt $BCDE$ jest równoległobokiem.

Olimpiady Matematyczne