1980-1989

XXXVII OM - II - Zadanie 6

W trójkącie $ ABC $ wybrano punkt $ A' $ na boku $ BC $, punkt $ B' $ na boku $ AC $, punkt $ C' $ na boku $ AB $ tak, że proste $ AA' $, $ BB' $, $ CC' $ przecinają się w jednym punkcie, czyli równoważnie $ |BA'| \cdot |CB'| \cdot |AC'| = |CA'| \cdot |AB'| \cdot |BC'| $. Udowodnić, że pole trójkąta $ A'B'C' $ jest nie większe od $ 1/4 $ pola trójkąta $ ABC $.

XXXVII OM - II - Zadanie 5

Udowodnić, że jeżeli wielomian $ f $ nie równy tożsamościowo zeru spełnia dla każdego rzeczywistego $ x $ równość $ f(x)f(x + 3) = f(x^2 + x + 3) $, to nie ma on pierwiastków rzeczywistych.

XXXVII OM - II - Zadanie 4

Liczby naturalne $ x, y, z $, których największy wspólny dzielnik jest równy 1, spełniają równanie

\[<br /> \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}<br /> \]

Dowieść, że $ x + y $ jest kwadratem liczby naturalnej.

XXXVII OM - II - Zadanie 3

Niech S będzie sferą opisaną na czworościanie foremnym o krawędzi długości większej od 1. Sferę $ S $ przedstawiono w postaci sumy czterech zbiorów. Udowodnić, że do pewnego z tych zbiorów należą takie punkty $ P $, $ Q $, że długość odcinka $ PQ $ przekracza 1.

XXXVII OM - II - Zadanie 2

W turnieju szachowym uczestniczy 66 zawodników, każdy z każdym rozgrywa jedną partią, rozgrywki odbywają się w czterech miastach. Udowodnić, że pewna trójka zawodników rozgrywa wszystkie partie między sobą w tym samym mieście.

XXXVII OM - II - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie funkcje $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ ciągłe w zerze i takie, że dla każdej liczby rzeczywistej $ x $ zachodzi równość

\[<br /> 2f(2x) = f(x) + x.<br /> \]

XXXVII OM - I - Zadanie 12

Udowodnić, że jeżeli prosta łącząca środki dwóch przeciwległych krawędzi czworościanu przechodzi przez środek kuli wpisanej w ten czworościan, to przechodzi również przez środek kuli opisanej na tym czworościanie.

XXXVII OM - I - Zadanie 11

Rzucamy kostką najpierw raz, a następnie tyle razy, ile oczek wypadło przy pierwszym rzucie. Obliczyć wartość oczekiwaną sumy wyrzuconych oczek {łącznie z pierwszym rzutem).

XXXVII OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że każda liczba naturalna mniejsza od $ n! $ jest sumą co najwyżej $ n $ różnych liczb naturalnych dzielących $ n! $.

Subskrybuje zawartość