1970-1979

XXVII OM - I - Zadanie 6

Znaleźć najmniejszą wartość funkcji określonej w zbiorze liczb rzeczywistych następującym wzorem

\[<br /> f(t) = \sum_{i=1}^n \frac{\sqrt{|x_i-t|}}{2^i}<br /> \]

gdzie $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ są danymi liczbami rzeczywistymi.

XXVII OM - I - Zadanie 5

Rozpatrujemy następującą grę dwóch osób Gracz pierwszy losuje żeton z napisaną na nim liczbą naturalną (nazwijmy ją $ n $) i odejmuje od niej wybrany przez siebie dzielnik właściwy $ d $ tej liczby (tzn. dzielnik spełniający nierówność $ 1\leq d<n $). Drugi gracz postępuje podobnie z różnicą $ n - d $, tzn. odejmuje od tej różnicy jej dzielnik właściwy, a następnie otrzymany wynik przekazuje graczowi, pierwszemu. Postępowanie to jest kontynuowane. Gracz, który otrzymał od partnera liczbę 1, przegrywa. Który z grających może zapewnić sobie wygraną, jeżeli gracz pierwszy wylosował
a) żeton z liczbą 1975,
b) żeton z liczbą 1976?

XXVII OM - I - Zadanie 4

Samolot leci bez zatrzymywania się po najkrótszej drodze z Oslo do miasta $ X $ leżącego na równiku w Ameryce Południowej. Z Oslo startuje dokładnie w kierunku zachodnim. Wiedząc, że współrzędne geograficzne Oslo są : $ 59^{\circ}55' $ szerokości północnej i $ 10^{\circ}43' $ długości wschodniej, obliczyć współrzędne geograficzne miasta $ X $. Jakie to miasto? Obliczyć długość drogi samolotu z dokładnością do 100 km. Zakładamy, że Ziemia jest idealną kulą o długości równika 40 000 km oraz, że samolot leci na wysokości nie większej niż 10 km.

XXVII OM - I - Zadanie 3

Wewnątrz trójkąta równobocznego o boku długości $ a $ obrano punkt, którego odległości od wierzchołków, trójkąta są równe $ x, y, z $. Donieść, że

\[<br /> a^4 - a^3(x^2+y^2+z^2) + x^4 + y^4 + z^4 - x^2y^2 - x^2z^2 - y^2z^2 = 0.<br /> \]

XXVII OM - I - Zadanie 1

Rozłożyć na czynniki możliwie najniższego stopnia :
a) $ (a + b + c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 $,
b) $ 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2a^2c^2 - a^4 - b^4 - c^4 $.

XXVIII - III - Zadanie 6

Dany jest wielomian

\[<br /> W(x)= (x-a)^k\cdot Q(x),<br /> \]

gdzie $ a \neq O $, $ Q $ jest wielomianem niezerowym, $ k $ jest liczbą naturalną. Dowieść, że $ W $ ma co najmniej $ k + 1 $ współczynników różnych od zera.

XXVIII - III - Zadanie 5

Udowodnić, że dla dowolnego wielokąta wypukłego istnieje koło, na którego brzegu leżą trzy kolejne wierzchołki tego wielokąta i które zawiera ten wielokąt.

XXVIII - III - Zadanie 4

Funkcja $ h: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ jest różniczkowalna i spełnia dla każdego $ x $ warunek $ h(ax) = b h(x) $, gdzie $ a $ i $ b $ są pewnymi ustalonymi liczbami rzeczywistymi i $ 0 \neq |a| \neq 1 $. Ponadto $ h'(0) \neq 0 $ i funkcja $ h' $ jest ciągła w punkcie $ x = 0 $.
Udowodnić, że $ a = b $ oraz istnieje taka liczba rzeczywista $ c $, że $ h(x) = cx $.

XXVIII - III - Zadanie 3

Rozważmy zbiór $ A = \{0, 1, 2, 3, \ldots, 2^{2n-1}\} $. Dana jest funkcja $ f: A \to A $ taka, że dla każdego ciągu $ (x_0, x_1, \ldots, x_{2n-1}) $ o wyrazach równych 0 lub 1 spełniona jest równość

\[<br /> \begin{split}<br /> f(x_0 + 2x_1 + 2^2x_2 + \ldots + 2^{2n-1}x_{2n-1}) = (1 - x_0) + 2x_1 + \\<br /> + (1 - x_2)\cdot 2^2 + x_3 \cdot 2^3 + \ldots + (1 - x_{2n-2}) \cdot 2^{2n-2} + \\<br /> + x_{2n-1}\cdot 2^{2n-1}.<br /> \end{split}<br /> \]

Udowodnić, że jeżeli liczby $ a_1, a_2, \ldots, a_9 \in A $ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to ciąg $ (f(a_1), f(a_2), \ldots, f(a_9)) $ nie jest rosnący.

Subskrybuje zawartość