1960-1969

XVII OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że suma kwadratów prostokątnych rzutów boków trójkąta na prostą $ p $ płaszczyzny tego trójkąta wtedy i tylko wtedy nie zależy od położenia prostej $ p $, gdy trójkąt jest równoboczny.

XVII OM - II - Zadanie 5

Każdy z boków $ BC, CA, AB $ trójkąta $ ABC $ podzielono na trzy równe części i na środkowych odcinkach tych boków jako na podstawach zbudowano na zewnątrz trójkąta $ ABC $ trójkąty równoboczne, których trzecie wierzchołki oznaczono odpowiednio literami $ A', B', C' $ Prócz tego wyznaczono punkty $ A'', B'', C'' $ symetryczne odpowiednio do $ A', B', C' $ względem prostych $ BC, CA, AB $. Dowieść, że trójkąty $ A'B'C' $ i $ A''B''C'' $ są równoboczne i mają ten sam środek ciężkości, co trójkąt $ ABC $.

XVII OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby naturalne $ a $ i $ b $ spełniają równanie $ a^2+a = 3b^2 $, to liczba $ a+1 $ jest kwadratem liczby całkowitej.

XVII OM - II - Zadanie 3

Na płaszczyźnie obrano 6 punktów, z których żadne 3 nie leżą na jednej prostej i wykreślono wszystkie odcinki łączące parami te punkty. Niektóre z odcinków wykreślono przy tym kolorem czerwonym, a inne niebieskim. Dowieść, że któreś trzy z danych punktów są wierzchołkami trójkąta o bokach jednego koloru.

XVII OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli dwa wielomiany stopnia trzeciego o współczynnikach całkowitych mają wspólny pierwiastek niewymierny, to mają jeszcze drugi wspólny pierwiastek.

XVII OM - I - Zadanie 12

Udowodnić twierdzenie: Jeżeli suma kątów płaskich przy wierzchołku ostrosłupa prawidłowego jest równa $ 180^{\circ} $, to w tym ostrosłupie środek kuli opisanej pokrywa się ze środkiem kuli wpisanej.

XVII OM - I - Zadanie 11

Dowieść, że środki kół dopisanych trójkąta i punkty symetryczne do środka koła wpisanego w ten trójkąt względem jego wierzchołków leżą na jednym okręgu.

XVII OM - I - Zadanie 10

Zadanie 10.
Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $ a, b, c $ spełniają, nierówności

\[<br /> (1) \quad a+b+c>0 \quad \text{ i } \quad (2) \quad abc>0,<br /> \]

to dla każdego naturalnego $ n $ zachodzi nierówność

\[<br /> (3) \qquad a^n + b^n + c^n > 0.<br /> \]
Subskrybuje zawartość