Kombinatoryka i logika

LVIII OM - III - Zadanie 3

Płaszczyznę podzielono prostymi poziomymi i pionowymi na kwadraty jednostkowe.
W każdy kwadrat należy wpisać liczbę całkowitą dodatnią tak, by każda
liczba całkowita dodatnia wystąpiła na płaszczyźnie dokładnie raz.
Rozstrzygnąć, czy można to uczynić w taki sposób, aby każda napisana liczba
była dzielnikiem sumy liczb wpisanych w cztery kwadraty sąsiednie.

LVIII OM - II - Zadanie 3

Z $n^2$ płytek w kształcie trójkąta równobocznego o boku $1$ ułożono trójkąt równoboczny o boku $n$ . Każda płytka jest z jednej strony biała, a z drugiej czarna. Ruch polega na wykonaniu następujących czynności: Wybieramy płytkę $P$ mającą wspólne boki z co najmniej dwiema płytkami, których widoczne strony mają kolor inny niż widoczna strona płytki $P$ . Następnie odwracamy płytkę $P$ na drugą stronę.

Dla każdego $n\ge 2$ rozstrzygnąć, czy istnieje początkowe ułożenie płytek, pozwalające wykonać nieskończony ciąg ruchów.

LVIII OM - I - Zadanie 11

Dla każdej liczby całkowitej dodatniej $n$ wyznaczyć liczbę permutacji $(x_1,x_2,\ldots,x_{6n-1})$ zbioru $\{1,2,\ldots,6n{-}1\}$ , spełniających warunki:

$ \begin{split} \hbox{jeśli}\;\;i-j=2n{+}1,\;\;\hbox{to}\;\;x_i>x_j; \\ \hbox{jeśli}\;\;i-j=4n \phantom{{+}1},\;\;\hbox{to}\;\;x_i<x_j. \\ \end{split} $

I OM - B - Zadanie 5

Motorówka wyruszyła o godzinie 9 w górę rzeki i w tym
samym momencie wrzucono z motorówki do rzeki piłkę. O godzinie 9
minut 15 motorówka zawróciła i popłynęła w dół rzeki. O której
godzinie motorówka dogoni piłkę?

LIX OM - III -Zadanie 4

Każdy punkt płaszczyzny o obu współrzędnych całkowitych pomalowano na biało albo na czarno. Dowieść, że ze zbioru w
szystkich pomalowanych punktów można wybrać nieskończony podzbiór, który ma środek symetrii i którego wszystkie punkty
mają ten sam kolor.

LIX OM - III -Zadanie 1

W pola tablicy rozmiaru $n \times n$ wpisane są liczby $1, 2, \dots , n^2$ , przy czym liczby $1, 2, \dots , n$ znajdują
się w pierwszym wierszu (od strony lewej do prawej), liczby $n +1, n +2, \dots ,2n$ w drugim, itd.

Wybrano $n$ pól tablicy, z których żadne dwa nie leżą w jednym wierszu ani w jednej kolumnie. Niech $a_i$ będzie liczbą
znajdującą się w tym wybranym polu, które leży w wierszu o numerze $i$ . Dowieść, że

$ \frac{1^2}{a_1} + \frac{2^2}{a_2} + \dots + \frac{n^2}{a_n} \geqslant \frac{n+2}{2} - \frac{1}{n^2+1} $

LIX OM - II -Zadanie 4

W każdym polu kwadratowej tablicy o rozmiarach $n \times n$ napisana jest liczba całkowita. Możemy wielokrotnie
wykonywać następującą operację: Wybieramy dowolne pole tabeli i zmniejszamy wpisaną weń liczbę o liczbę pól sąsiednich
(mających wspólny bok z wybranym polem), zaś każdą z liczb wpisanych w pola sąsiednie zwiększamy o 1.

Dla każdej liczby całkowitej $n \geqslant 2$ rozstrzygnąć, czy z dowolnej początkowej tabeli, w której suma wszystkich
$n^2$ liczb jest równa zeru, można otrzymać tabelę składającą się z samych zer.

LIX OM - I -Zadanie 12

Dana jest liczba całkowita $m \geqslant 2$ . Wyznaczyć najmniejszą taką liczbę całkowitą
$n \geqslant m$ , że dla każdego rozbicia zbioru $\{m,m+1,\dots ,n\}$ na dwa podzbiory, przynajmniej jeden z
tych podzbiorów zawiera takie liczby $a, b, c$ (niekoniecznie różne), że $ab = c$ .

LIX OM - I -Zadanie 7

W $n$ -osobowym stowarzyszeniu działa $2n-1$ komisji (każdy niepusty zbiór członków stowarzyszenia
tworzy komisję). W każdej komisji należy wybrać przewodniczącego. Wymagany jest przy tym warunek: Jeżeli
komisja $C$ jest sumą $C = A\cup B$ dwóch komisji $A$ i $B$ , to przewodniczący komisji $C$ jest też
przewodniczącym co najmniej jednej z komisji $A$ , $B$ . Wyznaczyć liczbę możliwych wyborów przewodniczących.

LIX OM - I -Zadanie 4

Dana jest liczba całkowita $n \geqslant 1$ . Każdemu niepustemu podzbiorowi $A$ zbioru $\{1, 2,\dots ,n\}$
przyporządkowujemy liczbę $w(A)$ w następujący sposób: Jeżeli $a_1 >a_2 >\dots >a_k$ są wszystkimi elementami
zbioru A, to

$ (1)\qquad w(A)= a_1 -a_2 +a_3 -\dots +(-1)^{k+1} a_k. $

Obliczyć sumę wszystkich $2n-1$ otrzymanych liczb $w(A)$ .

Olimpiady Matematyczne