Liczby całkowite

L OM - III - Zadanie 4

Rozstrzygnąć, dla jakich liczb naturalnych $ n \geq 2 $ układ równań

\[<br /> \left\{\begin{array}{c}<br /> x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+50=16x_{1}+12x_{2}\\<br /> x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+50=16x_{2}+12x_{3}\\<br /> x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+50=16x_{3}+12x_{4}\\<br /> \vdots\\<br /> x_{n-1}^{2}+x_{n}^{2}+50=16x_{n-1}+12x_{n}\\<br /> x_{n}^{2}+x_{1}^{2}+50=16x_{n}+12x_{1}<br /> \end{array}<br /> \right.<br /> \]

ma rozwiązanie w liczbach całkowitych $ x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n $.

L OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że istnieją takie liczby naturalne $ n_1 <n_2 < \ldots < n_{50} $, że

\[<br /> n_1 + S(n_1)= n_2 + S(n_2)= n_3 + S(n_3)= \ldots = n_{50} + S(n_{50}) ,<br /> \]

gdzie $ S(n) $ jest sumą cyfr liczby $ n $.

L OM - III - Zadanie 2

Dane są liczby całkowite nieujemne $ a_1 <a_2 <a_3 < \ldots < a_{101} $ mniejsze od $ 5050 $. Dowieść, że spośród nich można wybrać takie cztery różne $ a_k $, $ a_l $, $ a_m $, $ a_n $, że liczba $ a_k + a_l -a_m -a_n $ jest podzielna przez $ 5050 $.

L OM - II - Zadanie 6

Dana jest liczba naturalna $ k \geq 2 $ oraz liczby całkowite $ a_1, a_2,\ldots, a_n $ spełniające warunki

\[<br /> a_1 + 2^i a_2 + 3^i a_3 + \ldots + n^i a_n = 0\ \textrm{dla}\ i = 1, 2,\ldots, k-1.<br /> \]

Dowieść, że liczba $ a_1 + 2^k a_2 + 3^k a_3 + \ldots + n^k a_n $ jest podzielna przez $ k! $.

L OM - I - Zadanie 5

Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych dodatnich $ x $, $ y $ spełniające równanie $ y^x = x^{50} $.

L OM - I - Zadanie 4

Dane są takie liczby rzeczywiste $ x $, $ y $, że liczby $ x + y $, $ x^2 + y^2 $, $ x^3 + y^3 $ i $ x^4 + y^4 $ są całkowite. Dowieść, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej $ n $ liczba $ x^n + y^n $ jest liczbą całkowitą.

L OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że wśród liczb postaci $ 50^n + (50n + 1)^{50} $, gdzie $ n $ jest liczbą naturalną, występuje nieskończenie wiele liczb złożonych.

LI OM - I - Zadanie 9

Dane są takie liczby całkowite dodatnie $ m $ i $ n $, że $ mn | m^2 + n^2 + m $. Wykazać, że $ m $ jest kwadratem liczby całkowitej.

LI OM - I - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie pary $ (a,b) $ liczb naturalnych, dla których liczby $ a^3 + 6ab + 1 $ i $ b^3 + 6ab + 1 $ są sześcianami liczb naturalnych.

LI OM - I - Zadanie 1

Dana jest liczba naturalna $ n \geq 3 $. Udowodnić, ze suma sześcianów wszystkich liczb naturalnych mniejszych od $ n $, względnie pierwszych z $ n $, dzieli się przez $ n $.

Subskrybuje zawartość