Planimetria

XVIII OM - I - Zadanie 3

W czworokącie wypukłym $ABCD$ połączono odcinkami środek M boku AB z wierzchołkami $C$ i $D$ , a środek $N$ boku $CD$ z wierzchołkami $A$ i $B$ . Odcinki $AN$ i $DM$ przecinają się w punkcie $P$ , a odcinki $BN$ i $CM$ w punkcie $Q$ . Dowieść, że pole czworokąta $MQNP$ równa się sumie pól trójkątów $APD$ i $CQB$ .

XIX OM - III - Zadanie 6

Dany jest zbiór $n > 3$ punktów, z których żadne trzy nie są współliniowe, oraz liczba naturalna $k < n$ . Udowodnić twierdzenia:
1. Jeżeli $k \leq \frac{n}{2}$ , to każdy punkt danego zbioru można połączyć z co najmniej $k$ innymi punktami zbioru w taki sposób, że wśród poprowadzonych odcinków nie ma trzech boków tego samego trójkąta.
2. Jeżeli $k > \frac{n}{2}$ i każdy punkt danego zbioru jest połączony z $k$ innymi punktami zbioru, to wśród poprowadzonych odcinków są trzy boki tego samego trójkąta.

XIX OM - III - Zadanie 5

Na płaszczyźnie leży $n$ punktów ( $n \geq 4$ ), z których każde cztery są wierzchołkami czworokąta wypukłego. Dowieść, że wszystkie te punkty są wierzchołkami wielokąta wypukłego.

XIX OM - III - Zadanie 1

Jaka jest największa liczba obszarów, na które można podzielić płaszczyznę prowadząc $n$ par prostych równoległych?

XIX OM - II - Zadanie 6

Na płaszczyźnie obrano $n \geq 3$ punktów nie leżących na jednej prostej. Prowadząc proste przez każde dwa z tych punktów otrzymano $k$ prostych. Dowieść, że $k \geq n$ .

XIX OM - II - Zadanie 2

Dany jest okrąg $k$ i wewnątrz niego punkt $H$ . Wpisać w okrąg taki trójkąt, żeby punkt $H$ był punktem przecięcia wysokości trójkąta.

XIX OM - I - Zadanie 11

Na płaszczyźnie dany jest wielokąt, którego wszystkie kąty są równe. Dowieść, że suma odległości dowolnego punktu leżącego w wielokącie od prostych zawierających boki wielokąta jest stała.

XIX OM - I - Zadanie 7

Punkty $D, E, F$ są środkami boków trójkąta $ABC$ . Dowieść, że jeżeli okręgi opisane na trójkątach $ABC$ i $DEF$ są styczne, to punkt styczności jest jednym z punktów $A$ , $B$ , $C$ i trójkąt $ABC$ jest prostokątny.

XIX OM - I - Zadanie 4

Na płaszczyźnie dane są proste równoległe $a$ i $b$ oraz punkt $M$ leżący na zewnątrz pasa ograniczonego tymi prostymi. Wyznaczyć na prostych $a$ i $b$ odpowiednio punkty $A$ i $B$ w taki sposób, żeby odcinek $AB$ był prostopadły do $a$ i $b$ , a przy tym kąt $AMB$ był największy.