Stereometria

XLIV OM - I - Zadanie 10

Funkcja $ f $ przekształcająca sześcian $ \mathcal{C} $ na $ \mathcal{C} $ spełnia warunek

\[<br /> |PQ| \geq |f(P)f(Q)| \quad \text{ dla } P,Q\in \mathcal{C}.<br /> \]

Wykazać, że $ f $ jest izometrią.

XLIV OM - I - Zadanie 7

W przestrzeni dane są punkty

\[<br /> A_0 = (0,0,0),\; A_1 = (1,0,0),\; A_2 = (0,1,0),\; A_3 = (0,0,1).<br /> \]

Niech $ P_{ij} $ ($ i,j \in \{0,1,2,3\} $) będą punktami wyznaczonymi przez równość $ \overrightarrow{A_0P_{ij}} = \overrightarrow{A_iA_j} $. Obliczyć objętość najmniejszego wielościanu wypukłego zawierającego wszystkie punkty $ P_ij $.

XLV OM - III - Zadanie 5

Punkty $ A_1, A_2, \ldots , A_8 $ są wierzchołkami równoległościanu o środku $ O $. Wykazać, że

\[<br /> r\cdot \sum_{i=1}^8 |OA_i|^2 \leq \left(\sum_{i=1}^8 |OA_i| \right)^2.<br /> \]

XLV OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli na sześciokątnym przekroju sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez jego środek można opisać okrąg, to przekrój ten jest sześciokątem foremnym.

XLV OM - I - Zadanie 12

Udowodnić, że sumy przeciwległych kątów dwuściennych czworościanu są równe wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych krawędzi tego czworościanu są równe.

XLVI OM - III - Zadanie 6

Dane są trzy niewspółpłaszczyznowe półproste $ k $, $ l $, $ m $ o wspólnym początku $ P $ oraz punkt $ A $ różny od $ P $ należący do $ k $. Wykazać, że istnieje dokładnie jedna para punktów $ B $, $ C $, należących odpowiednio do $ l $ i $ m $, taka, że

\[<br /> |PA| + |AB| = |PC| + |CB| \quad \text{oraz} \quad |PB| + |BC| = |PA| + |AC|.<br /> \]

XLVI OM - I - Zadanie 8

W ostrosłupie prawidłowym $ n $-kątnym kąty nachylenia ściany bocznej i krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynoszą odpowiednio $ \alpha $ i $ \beta $. Udowodnić, że $ \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta \leq \tan ^2 \frac{\pi}{2n} $.

XLVII OM - III - Zadanie 4

W czworościanie $ ABCD $ zachodzą następujące równości:

\[<br /> |\measuredangle BAC| = |\measuredangle ACD| \quad \text{oraz} \quad |\measuredangle ABD| = |\measuredangle BDC|.<br /> \]

Dowieść, że krawędzie $ AB $ i $ CD $ mają jednakową długość.

XLVII OM - II - Zadanie 6

Wewnątrz równoległościanu,którego krawędzie mają długości $ a $, $ b $, $ c $, leży punkt $ P $. Dowieść. że istnieje wierzchołek równoległościanu, którego odległość od punktu $ P $ nie przekracza $ \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} $.

XLVII OM - I - Zadanie 12

Rozstrzygnąć, czy istnieją takie dwa przystające sześciany o wspólnym środku, że każda ściana pierwszego sześcianu ma punkt wspólny z każdą ścianą drugiego sześcianu.

Subskrybuje zawartość