Olimpiada Matematyczna

VIII OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli czworokąt wypukły ma tę własność, że istnieje okrąg styczny do jego boków (tzn. okrąg wpisany), a także okrąg styczny do przedłużeń jego boków (okrąg dopisany), to przekątne czworokąta są do siebie prostopadłe.

VIII OM - II - Zadanie 5

Dany jest odcinek $AB$ i prosta $m$ równoległa do tego odcinka. Znaleźć środek odcinka $AB$ używając samej linijki, tzn. rysując tylko linie proste.

VIII OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli $a > 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ , to

$ \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c+ a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}. $

VIII OM - II - Zadanie 3

Dany jest sześcian o krawędzi $AB = a$ cm. Punkt $M$ odcinka $AB$ jest odległy od przekątnej sześcianu, skośnej względem $AB$ , o $k$ cm. Znaleźć odległość punktu $M$ od środka $S$ odcinka $AB$ .

VIII OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli $M$ , $N$ , $P$ są spodkami wysokości trójkąta ostrokątnego $ABC$ , to stosunek obwodu trójkąta $MNP$ do obwodu trójkąta $ABC$ jest równy stosunkowi promienia kola wpisanego w trójkąt $ABC$ do promienia koła opisanego na trójkącie $ABC$ .

VIII OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $n$ jest liczfią całkowitą, to

$ \frac{n^5}{120} - \frac{n^3}{24} + \frac{n}{30} $

jest też liczbą całkowitą.

VIII OM - I - Zadanie 12

Udowodnić, że:

1) $n$ prostych leżących na płaszczyźnie, z których każde dwie przecinają się, ale żadne trzy nie przechodzą przez jeden punkt, dzieli płaszczyznę na $\frac{1}{2} (n^2 + n + 2)$ części;

2) $n$ płaszczyzn, z których każde trzy mają jeden i tylko jeden punkt wspólny, ale żadne cztery nie przechodzą przez jeden punkt, dzieli przestrzeń na $\frac{1}{6} (n^3 + 5n + 6)$ części.

VIII OM - I - Zadanie 11

Przez wierzchołki $A$ , $B$ , $C$ trójkąta ostrokątnego oraz przez środek $O$ okręgu opisanego na tym trójkącie poprowadzono proste $AO$ , $BO$ , $CO$ , które przecinają przeciwległe boki trójkąta odpowiednio w punktach $M$ , $N$ , $P$ . Dowieść, że

$ \frac{1}{AM} + \frac{1}{BN} + \frac{1}{CP} = \frac{2}{R}, $

gdzie $R$ oznacza promień okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ .

VIII OM - I - Zadanie 10

Dowieść, że ze wszystkich czworokątów wpisanych w dane koło kwadrat ma największe pole.

VIII OM - I - Zadanie 8

W prostopadłościanie $ABCDA_1B_1C_1D_1$ dane są długości krawędzi $AA_1 = a$ , $AB = b$ , $AD = c$ . Na ścianie $A_1B_1C_1D_1$ obrano punkt $M$ w odległości $p$ od boku $A_1B_1$ , a w odległości $q$ od boku $A_1D_1$ i zbudowano równoległościan o podstawie $ABCD$ i krawędzi bocznej $AM$ . Obliczyć pole ścian bocznych tego równoległościanu.