2000-2009

LVII OM - I - Zadanie 5

Niech $ a, b $ będą liczbami rzeczywistymi. Rozważamy funkcje $ f(x)= ax+b|x| $ oraz $ g(x)= ax-b|x| $.
Wykazać, że jeśli $ f(f(x)) = x $ dla każdej liczby rzeczywistej $ x $, to również $ g(g(x)) = x $ dla każdej liczby rzeczywistej $ x $.

LVII OM - I - Zadanie 4

Uczestnicy zawodów matematycznych rozwiązywali sześć zadań, każde oceniane jedną z ocen 6, 5, 2, 0. Okazało się, że
dla każdej pary uczestników $ A, B $ można wskazać takie dwa zadania, że w każdym z nich $ A $ uzyskał inną ocenę niż $ B $.

Wyznaczyć największą liczbę uczestników, dla której taka sytuacja jest możliwa.

LVII OM - I - Zadanie 3

Trójkąt ostrokątny $ ABC $ jest wpisany w okrąg o środku $ O $. Punkt $ D $ jest rzutem prostokątnym punktu $ C $ na prostą $ AB $, a punkty $ E $ i $ F $ są rzutami prostokątnymi punktu $ D $ odpowiednio na proste $ AC $ i $ BC $. Wykazać, że pole czworokąta $ EOFC $ jest równe połowie pola trójkąta $ ABC $.

LVII OM - I - Zadanie 2

Rozwiązać w liczbach rzeczywistych nieujemnych $ x $ równanie

\[<br /> \sqrt[5]{x}=\left[\sqrt[5]{3x}\right]<br /> \]

Uwaga: $ [t] $ oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od $ t $.

LVII OM - I - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie nieujemne liczby całkowite $ n $, dla których liczba
$ 2^n +105 $ jest kwadratem liczby całkowitej.

III MEMO - Zadanie 10

Czworokąt $ ABCD $ wpisany jest w okrąg, przy czym $ CD=DA $. Na odcinkach $ AB $ i $ BC $ wybrano punkty odpowiednio $ E $ i $ F $, dla których $ \measuredangle ADC=2\measuredangle EDF $. Odcinek $ DK $ jest wysokością trójkąta $ DEF $, zaś $ DM $ jego środkową. Punkt $ L $ jest symetryczny do $ K $ względem $ M $. Wykazać, że proste $ DM $ oraz $ BL $ są równoległe.

III MEMO - Zadanie 9

Niech $ ABCD $ będzie równoległobokiem, w którym $ \measuredangle BAD=60^\circ $. Przekątne tego równoległoboku przecinają się w punkcie $ E $. Okrąg opisany na trójkącie $ ACD $ przecina po raz drugi proste $ BA $, $ BD $, $ BC $ w punktach odpowiednio $ K $, $ P $, $ L $. Prosta $ EP $ przecina okrąg opisany na trójkącie $ CEL $ w punkcie $ M\neq E $. Udowodnić, że trójkąty $ KLM $ i $ CAP $ są przystające.

III MEMO - Zadanie 8

Każde z pól szachownicy o wymiarach $ 2009\times 2009 $ kolorujemy jednym z $ n $ kolorów (nie każdy kolor musi być wykorzystany). Mówimy, że kolor jest spójny, jeżeli dla dowolnych dwóch pól tego koloru można za pomocą ciągu ruchów przeprowadzić hetmana z jednego pola na drugie, stawiając go jedynie na polach w tym kolorze. W szczególności, jeśli pewnym kolorem pomalowano tylko jedno pole, to również jest on spójny. Wyznaczyć największą liczbę $ n $, dla której przy dowolnym kolorowaniu szachownicy co najmniej jeden z kolorów jest spójny.

Uwaga: Ruch hetmanem polega na przesunięciu go o dowolną liczbę pól w pionie, poziomie lub po skosie.

Subskrybuje zawartość