1990-1999

XLVII OM - II - Zadanie 4

Dany jest ciąg $a_1, a_2, \ldots , a_{99}$ liczb ze zbioru $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ . Zakładamy, że dla $i =1,2, \ldots, 98$ zachodzą implikacje:

$ \textrm{jeśli } a_i = 1, \text{ to } a_{i+1} \neq 2; \quad \text{ a jeśli } a_i = 3, \text{ to } a_{i+1} \neq 4. $

Udowodnić, że dla pewnych dwóch różnych liczb $k,l \in \{1,2, ... ,98\}$ zachodzą równości: $a_k = a_l$ oraz $a_{k+1} = a_{l+1}$ .

XLVII OM - II - Zadanie 3

Wykazać, że jeśli każda z liczb $a$ , $b$ , $c$ jest nie mniejsza od $-\frac{3}{4}$ oraz jeśli $a+b+c=1$ , to

$ \frac{a}{a^2+1} + \frac{b}{b^2+1} + \frac{c}{c^2+1} \leq \frac{9}{10}. $

Okrąg o środku $O$ wpisany w czworokąt wypukły $ABCD$ jest styczny do boków $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ odpowiednio w punktach $K$ , $L$ , $M$ , $N$ , przy czym proste $KL$ i $MN$ przecinają się w punkcie $S$ . Dowieść, że proste $BD$ i $OS$ są prostopadłe.

XLVII OM - II - Zadanie 1

Rozstrzygnąć, czy każdy wielomian o współczynnikach całkowitych jest sumą trzecich potęg wielomianów o współczynnikach całkowitych.

XLVII OM - I - Zadanie 12

Rozstrzygnąć, czy istnieją takie dwa przystające sześciany o wspólnym środku, że każda ściana pierwszego sześcianu ma punkt wspólny z każdą ścianą drugiego sześcianu.

XLVII OM - I - Zadanie 11

W konkursie skoków narciarskich uczestniczy 65 zawodników. Startują oni kolejno, według ustalonego wcześniej porządku. Każdy wykonuje jeden skok. Przyjmujemy, że uzyskane wyniki są różne od zera oraz że każda kolejność końcowa jest jednakowo prawdopodobna. W każdym momencie konkursu liderem nazywamy zawodnika, który do tego momentu uzyskał najlepszy wynik. Oznaczmy przez $p$ prawdopodobieństwo tego, że w czasie całego konkursu dokładnie jeden raz nastąpiła zmiana lidera. Wykazać, że $p > \frac{1}{16}$ .

XLVII OM - I - Zadanie 10

Wykazać, że równanie $x^x = y^3 + z^3$ ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich $x, y, z$ .

XLVII OM - I - Zadanie 9

Wielomian o współczynnikach całkowitych daje przy dzieleniu przez wielomian $x^2 - 12x + 11$ resztę $990x - 889$ . Wykazaż, że wielomian te nie ma pierwiastków całkowitych.

XLVII OM - I - Zadanie 8

Ze środka kwadratu wybiega promień świetlny, który odbija się od boków kwadratu zgodnie z zasadą kąt padania jest równy kątowi odbicia. Po pewnym czasie promień wraca do środka kwadratu. Promień nigdy nie trafił w wierzchołek, ani nie przeszedł wcześniej przez środek. Dowieść, że liczba odbić od boków kwadratu jest nieparzysta.

XLVII OM - I - Zadanie 7

Liczby nieujemne $a$ , $b$ , $c$ , $p$ , $q$ , $r$ spełniają warunki:

$ a + b + c = p + q + r = 1; \quad p, q, r \leq \frac{1}{2}. $

Udowodnić, że $8abc \leq pa + qb + rc$ oraz rozstrzygnąć, kiedy zachodzi równość.

Olimpiady Matematyczne