Olimpiada Matematyczna, Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna, Austriacko-Polskie Zawody Matematyczne, Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich, Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne, Środkowo-Europejska Olimpiada Matematyczna

LX OM - II - Zadanie 1

Liczby rzeczywiste $a_1, a_2, \cdots , a_n$ $(n \geqslant 2)$ spełniają warunek
$a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n > 0$ . Udowodnić nierówność

$<br /> a_1a_2 \cdots a_{n-1} +(2a_2 -a_1)(2a_3 -a_2) \cdots (2a_n -a_{n-1}) \geqslant 2a_2a_3 \cdots a_n.<br />$

Dana jest liczba pierwsza $p$ . Po lewej stronie tablicy napisano liczby $1, 2, 3, \cdots, p - 1$ ,
zaś po prawej stronie liczbę $0$ . Wykonujemy ciąg $p - 1$ ruchów, z których każdy przebiega
następująco: Wybieramy jedną z liczb napisanych po lewej stronie tablicy, dodajemy ją do wszystkich
pozostałych liczb na tablicy, po czym wymazujemy wybraną liczbę.

Rozstrzygnąć, dla jakich wartości
$p$ można w kolejnych ruchach wybierać liczby w taki sposób, by liczba pozostała na tablicy po
wykonaniu wszystkich ruchów była podzielna przez p.

I OM

MINISTERSTWO OŚWIATY

PIERWSZA OLIMPIADA MATEMATYCZNA

SPRAWOZDANIE KOMITETU GŁÓWNEGO

WARSZAWA 1951

PAŃSTWOWE ZAKŁADY WYDAWNICTW SZKOLNYCH

Załącznik	Wielkość
Pierwsza Olimpiada Matematyczna - Sprawozdanie Komitetu Głównego	6.83 MB
Iom1.pdf	381.71 KB
Iom2.pdf	788.49 KB
Iom3.pdf	682.99 KB

LVIII OM - III etap

III etap LIX Olimpiady Matematycznej

Załącznik	Wielkość
LVIII OM III etap - Zadania	72.33 KB
LVIII OM III etap - Zadania z rozwiązaniami	146.64 KB

LVIII OM - II etap

II etap LVIII Olimpiady Matematycznej

Załącznik	Wielkość
LVIII OM II etap - Zadania	68.73 KB
LVIII OM II etap - Zadania z rozwiązaniami	119.46 KB

LVIII OM - I etap

I etap LVIII Olimpiady Matematycznej

Załącznik	Wielkość
LVIII OM I etap - Zadania	107.2 KB
LVIII OM I etap - Zadania z rozwiązaniami	119.46 KB

LIX OM - III etap

III etap LIX Olimpiady Matematycznej

Załącznik	Wielkość
LIX OM III etap - Zadania	68.08 KB
LIX OM III etap - Zadania z rozwiązaniami	291.06 KB

LIX OM - II etap

II etap LIX Olimpiady Matematycznej

Załącznik	Wielkość
LIX OM II etap - Zadania	60.31 KB
LIX OM II etap - Zadania z rozwiązaniami	121.4 KB

LIX OM - I etap

I etap LIX Olimpiady Matematycznej

Załącznik	Wielkość
LIX OM I etap - Zadania	109.01 KB
LIX OM I etap - Zadania z rozwiązaniami	188.16 KB

LVI OM

LVI Olimpiada Matematyczna

Załącznik	Wielkość
Informacja o przebiegu LVI Olimpiady Matematycznej	100.31 KB

Olimpiada Matematyczna

Olimpiady Matematyczne