1980-1989

XXXVII OM - I - Zadanie 8

Niech $ E $ będzie dowolnym punktem wewnętrznym boku $ AB $ czworokąta wypukłego $ ABCD $. Oznaczmy odpowiednio przez $ S_1, S_2, T $ pola trójkątów $ ADE $, $ BCE $ oraz $ CDE $.

a) Udowodnić, że jeżeli $ |\measuredangle A| + |\measuredangle B| = 180^{\circ} $, to $ T \geq 2\sqrt{S_1S_2} $.

b) Udowodnić, że jeżeli $ |\measuredangle A| + |\measuredangle B| > 180^{\circ} $, to $ T > 2\sqrt{S_1S_2} $.

XXXVII OM - I - Zadanie 4

W dany okrąg wpisujemy trójkąt ostrokątny $ ABC $. Niech $ A_1, B_1, C_1 $ będą odpowiednio środkami łuków $ BC, CA, AB $ zawartych w półokręgach. Udowodnić, że pole trójkąta $ ABC $ nie jest większe od pola trójkąta $ A_1B_1C_1 $ oraz, że pola te są równe wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt $ ABC $ jest równoboczny.

XXXVII OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ k $ wielomian

\[<br /> (x^4-1)(x^3-x^2+x-1)^k + (x+1)x^{4k-1}<br /> \]

dzieli się przez $ x^5+1 $.

XXXVII OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli $ x,y,z $ są takimi liczbami nieujemnymi, że $ x + y + z = 1 $, to

\[<br /> \frac{x}{x+1} + \frac{y}{y+1} + \frac{z}{z+1} \leq \frac{3}{4}.<br /> \]

XXXVII OM - I - Zadanie 1

Niech liczby naturalne $ a_n $ i $ b_n $ spełniają równość

\[<br /> a_n+b_n\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^n.<br /> \]

Obliczyć $ \lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n} $.

XXXVIII OM - III - Zadanie 6

Płaszczyznę pokryto siatką sześciokątów foremnych o boku 1. Za drogę na siatce uważamy taki ciąg boków sześciokątów siatki, że każde dwa kolejne mają wspólny koniec. Drogę na siatce nazwiemy najkrótszą, jeżeli jej końców nie można połączyć drogą krótszą. Znaleźć liczbę najkrótszych dróg na siatce o ustalonym początku i długości 60.

XXXVIII OM - III - Zadanie 5

Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną $ n $, dla której liczba $ n^2-n+11 $ jest iloczynem czterech liczb pierwszych (niekoniecznie różnych).

Subskrybuje zawartość