1970-1979

XXVIII - III - Zadanie 2

Dla ustalonej liczby naturalnej $s \geq 3$ dany jest ciąg kół $(K_n)$ oraz ciąg $s$ -kątów wypukłych $(W_n)$ że

$ K_n \supset W_n \supset K_{n+1} \quad \text{ dla } n = 1,2, \ldots. $

Dowieść, że ciąg średnic kół $K_n$ dąży do zera.

XXVIII - III - Zadanie 1

Dany jest czworościan $ABCD$ , o którego kątach płaskich wiadomo, że

$ \measuredangle BAD = 60^{\circ}, \quad \measuredangle BAC = 40^{\circ}, \quad \measuredangle ABD = 80 ^{\circ}, \quad \measuredangle ABC = 70^{\circ} $

Dowieść, że krawędzie $AB$ i $CD$ są prostopadłe.

XXVIII - II - Zadanie 6

Jaka jest największa liczba części, na które mogą rozciąć płaszczyznę brzegi $n$ kwadratów?

XXVIII - II - Zadanie 5

Niech wielomiany $w_n$ będą określone wzorami:

$ w_1(x) = x^2 - 1, \quad w_{n+1}(x) = w_n(x)^2 - 1, \quad (n = 1, 2, \ldots) $

i niech $a$ będzie liczbą rzeczywistą. Ile różnych rozwiązań rzeczywistych ma równanie $w_n(x) = a$ ?

Dany jest taki ostrosłup o podstawie czworokątnej, że każda para okręgów wpisanych w sąsiednie ściany ma punkt wspólny. Dowieść, że punkty styczności tych okręgów z podstawą ostrosłupa leżą na jednym okręgu.

XXVIII - II - Zadanie 3

W kapeluszu znajduje się 7 kartek. Na $n$ -tej kartce napisana jest liczba $2^n-1$ ( $n = 1, 2, \ldots, 7$ ). Wyciągamy losowo kartki aż do momentu, kiedy suma przekroczy 124. Jaka wartość tej sumy jest najbardziej prawdopodobna?

XXVIII - II - Zadanie 2

Niech $X$ będzie punktem wewnętrznym trójkąta $ABC$ Dowieść, że iloczyn odległości punktu $X$ od wierzchołków $A, B, C$ jest co najmniej osiem razy większy od iloczynu odległości tego punktu od prostych $AB, BC, CA$ .

XXVIII - II - Zadanie 1

Niech $a$ i $b$ będą różnymi liczbami rzeczywistymi. Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $c_1, c_2, \ldots,c_n$ istnieje ciąg $n$ -ele-mentowy $(x_i)$ , którego każdy wyraz równy jest jednej z liczb $a$ lub $b$ taki, że

$ |x_1c_1 + x_2c_2 + \ldots + x_nc_n| \geq \frac{|b-a|}{2}(|c_1|+|c_2|+\ldots+|c_n|). $

Czytaj dalej

XXVIII - I - Zadanie 12

Rozstrzygnąć, w którym z wielomianów $(1 - 9x + 7x^2 - 6x^3)^{1976}$ , $(1 + 9x - 7x^2 + 6x^3)^{1976}$ współczynnik przy $x^{1976}$ jest większy.

XXVIII - I - Zadanie 11

Spośród liczb $1, 2, \ldots, n$ wybieramy jedną, przy czym wybór każdej z nich jest jednakowo prawdopodobny. Niech $p_n$ będzie prawdopodobieństwem takiego zdarzenia,, że w zapisie dziesiętnym wybranej liczby występują wszystkie cyfry: $0, 1, \ldots, 9$ . Obliczyć $\lim_{n\to \infty} p_n$ .

Olimpiady Matematyczne