1960-1969

XVII OM - I - Zadanie 8

W przestrzeni dane są trzy proste. Znaleźć prostą przecinającą je w takich punktach $A, B, C$ , że $\frac{AB}{BC}$ równa się danej liczbie dodatniej $k$ .

W dany trójkąt wpisano dwa trójkąty w taki sposób, że wierzchołki jednego z nich są symetryczne do wierzchołków drugiego względem środków boków danego trójkąta. Udowodnić, że pola tych trójkątów są równe.

XVII OM - I - Zadanie 6

Udowodnić twierdzenie: Jeżeli współczynniki $a, b, c, d$ równania stopnia trzeciego $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ są liczbami całkowitymi, przy czym liczba $ad$ jest nieparzysta, a liczba $bc$ - parzysta, to równanie nie może mieć trzech pierwiastków wymiernych.

XVII OM - I - Zadanie 5

Dane są liczby dodatnie $p$ i $q$ . Dowieść, że prostopadłościan, w którym suma krawędzi równa się $4p$ , a pole powierzchni równa się $2q$ , istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy $p^2 \geq 3q$ .

XVII OM - I - Zadanie 4

Na płaszczyźnie dany jest okrąg i punkt $M$ . Znaleźć na okręgu takie punkty $A$ i $B$ , żeby odcinek $AB$ miał daną długość $d$ , a kąt $AMB$ był równy danemu kątowi $\alpha$ .

XVII OM - I - Zadanie 3

Znaleźć miejsce geometryczne środków ciężkości trójkątów ostrokątnych wpisanych w dany okrąg.

XVII OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli liczba rzeczywista $x_1$ spełnia równanie $x^3+2px+q = 0$ ( $p, q$ - dane liczby rzeczywiste), to $x_1q \leq p^2$ .

XVII OM - I - Zadanie 1

Przedstawić wielomian $x^5 + x + 1$ w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia niższego o współczynnikach całkowitych.

XVIII OM - III - Zadanie 6

Dana jest kula i płaszczyzna nie mająca z kulą punktów wspólnych. Znaleźć miejsce geometryczne środków okręgów styczności z kulą tych stożków opisanych na kuli, których wierzchołki leżą na danej płaszczyźnie.

XVIII OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli wielokąt o nieparzystej liczbie boków wpisany, w okrąg ma wszystkie kąty równe, to wielokąt ten jest foremny.

Olimpiady Matematyczne