1949-1959

VIII OM - I - Zadanie 7

Zbudować trójkąt $ ABC $ mając dane: bok $ AB = c $, promień koła opisanego $ R $ oraz kąt $ \delta $ zawarty między dwusieczną kąta $ C $ i wysokością poprowadzoną z wierzchołka $ C $.

VIII OM - I - Zadanie 6

Znaleźć liczbę czterocyfrową, której dwie pierwsze cyfry są jednakowe, dwie ostatnie cyfry są jednakowe i która jest kwadratem liczby całkowitej.

VIII OM - I - Zadanie 5

Jaki warunek powinna spełniać liczbą $ q $, aby istniał trójkąt, którego boki tworzą postęp geometryczny o ilorazie $ q $?

VIII OM - I - Zadanie 4

Przez punkt $ A $ leżący na zewnątrz danego okręgu $ K $ poprowadzić prostą, która by przecięła ten okrąg w punktach $ B $ i $ C $ w ten sposób, że $ AB = BC $.

VIII OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że dla każdego trójkąta zachodzą nierówności

\[<br /> (1) \qquad \frac{1}{2r} < \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} < \frac{1}{r},<br /> \]

gdzie $ r $ oznacza promień koła wpisanego w trójkąt, a $ h_1 $ i $ h_2 $ - dwie wysokości tego trójkąta.

VIII OM - I - Zadanie 2

Znaleźć wzór na sumę czwartych potęg kolejnych liczb całkowitych od $ 1 $ do $ n $.

IX OM - III - Zadanie 6

Dowieść, że ze wszystkich czworokątów opisanych na danym kole najmniejszy obwód ma kwadrat.

IX OM - III - Zadanie 5

Udowodnić twierdzenie: W czworościanie płaszczyzna dwusieczna każdego kąta dwuściennego dzieli krawędź przeciwległą na odcinki proporcjonalne do pól ścian czworościanu tworzących ten kąt dwuścienny.

IX OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli $ k $ jest liczbą naturalną, to

\[<br /> (1) \qquad (1 + x)(1 + x^2) (1 + x^4) \ldots (1 + x^{2^k}) =<br /> 1 + x + x^2 + x^3+ \ldots + x^m,<br /> \]

gdzie $ m $ jest liczbą naturalną zależną od $ k $; wyznaczyć $ m $.

Subskrybuje zawartość