Ciągi, Funkcje i ich własności, Kombinatoryka i logika, Liczby całkowite, Liczby rzeczywiste, Nierówności, Planimetria, Rachunek prawdopodobieństwa, Równania funkcyjne, Równania wielomianowe, Stereometria, Wielomiany

VIII OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że dla każdego trójkąta zachodzą nierówności

$ (1) \qquad \frac{1}{2r} < \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} < \frac{1}{r}, $

gdzie $r$ oznacza promień koła wpisanego w trójkąt, a $h_1$ i $h_2$ - dwie wysokości tego trójkąta.

VIII OM - I - Zadanie 2

Znaleźć wzór na sumę czwartych potęg kolejnych liczb całkowitych od $1$ do $n$ .

VIII OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać układ równań

$ (1) \qquad \begin{array}{c} x^5 - y^5 = 992,\\ x - y = 2. \end{array} $

IX OM - III - Zadanie 6

Dowieść, że ze wszystkich czworokątów opisanych na danym kole najmniejszy obwód ma kwadrat.

IX OM - III - Zadanie 5

Udowodnić twierdzenie: W czworościanie płaszczyzna dwusieczna każdego kąta dwuściennego dzieli krawędź przeciwległą na odcinki proporcjonalne do pól ścian czworościanu tworzących ten kąt dwuścienny.

IX OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli $k$ jest liczbą naturalną, to

$ (1) \qquad (1 + x)(1 + x^2) (1 + x^4) \ldots (1 + x^{2^k}) = 1 + x + x^2 + x^3+ \ldots + x^m, $

gdzie $m$ jest liczbą naturalną zależną od $k$ ; wyznaczyć $m$ .

IX OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli $n$ jest liczbą naturalną większą od $1$ , to

$ \cos \frac{2\pi}{n} + \cos \frac{4\pi}{n} + \cos \frac{6\pi}{n} + \ldots + \cos \frac{2n \pi}{n} = 0. $

Każdy bok czworokąta wypukłego $ABCD$ podzielono na trzy równe części; przez te punkty podziału boków $AB$ i $AD$ , które leżą bliżej wierzchołka $A$ , poprowadzono prostą i analogicznie postąpiono przy wierzchołkach $B$ , $C$ , $D$ . Dowieść, że środek ciężkości czworokąta utworzonego przez narysowane proste pokrywa się ze środkiem ciężkości czworokąta $ABCD$ .

IX OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, z których środkowa jest sześcianem liczby naturalnej, jest podzielny przez $504$ .

IX OM - II - Zadanie 6

Na płaszczyźnie dane są dwa okręgi $C_1$ i $C_2$ oraz prosta $m$ . Znaleźć na prostej $m$ taki punkt, z którego można do okręgów $C_1$ i $C_2$ poprowadzić styczne jednakowo nachylone do prostej $m$ .

Olimpiady Matematyczne