Kombinatoryka i logika

LX OM - II - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite $ n\geqslant 4 $ o następującej własności: Spośród dowolnych $ n $
różnych 3-elementowych podzbiorów zbioru $ n $-elementowego można wybrać dwa podzbiory, które mają dokładnie
jeden element wspólny.

LX OM - I - Zadanie 9

Dana jest tablica $ 2008 \times 2008 $. Dwaj gracze na przemian
wykonują ruchy, z których każdy polega na wybraniu białego albo
czarnego pionka i postawieniu go na wybranym wolnym polu. Wygrywa
ten, którego ruch doprowadził do powstania ciągu 5 kolejnych
pionków tego samego koloru w linii pionowej, poziomej lub ukośnej.

Zbadać, czy istnieje strategia dla gracza rozpoczynającego grę
zapewniająca mu zwycięstwo.

LX OM - I - Zadanie 5

Dla każdej liczby całkowitej $ n \geqslant 1 $ wyznaczyć największą
możliwą liczbę różnych podzbiorów zbioru $ \{1,2,3, \cdots,n\} $ o
następującej własności: Dowolne dwa z tych podzbiorów są rozłączne
lub jeden z nich zawiera się w drugim.

LX OM - I - Zadanie 2

Dana jest liczba całkowita $ n \geq 2 $. Niech $ r_1, r_2, r_3, \cdots, r_{n-1} $ będą odpowiednio
resztami z dzielenia liczb

\[<br /> 1, 1+2, 1+2+3, \cdots, 1+2+ \cdots +(n-1)<br /> \]

przez $ n $. Znaleźć wszystkie takie wartości $ n $, że ciąg $ (r_1,r_2,\cdots,r_{n-1}) $ jest permutacją
ciągu $ (1, 2, \cdots,n-1) $.

LX OM - I - Zadanie 1

Na niektórych polach szachownicy rozmiaru $ m\times n $ ustawiono wieże.
Wiadomo, że dowolna wieża znajduje się w polu rażenia co najwyżej
dwóch innych wież.

Wyznaczyć, w zależności od $ m, n \geq 2 $, największą liczbę wież na szachownicy,
dla której taka sytuacja jest możliwa.

Subskrybuje zawartość