Liczby całkowite

LII OM - III - Zadanie 4

Dane są takie liczby całkowite $a$ i $b$ , że dla każdej liczby całkowitej nieujemnej $n$ liczba $2^na + b$ jest kwadratem liczby całkowitej. Dowieść, że $a = 0$ .

LII OM - II - Zadanie 1

Dane są liczby naturalne $k$ , $n$ większe od $1$ , przy czym liczba $p = 2k-1$ jest pierwsza. Dowieść, że jeżeli liczba

$ {n \choose 2} - {k \choose 2} $

jest podzielna przez $p$ , to jest ona podzielna przez $p^2$ .

LII OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że wśród dowolnych $12$ kolejnych liczb całkowitych dodatnich istnieje liczba nie będąca sumą $10$ czwartych potęg liczb całkowitych.

LII OM - I - Zadanie 6

Liczby całkowite $a$ , $b$ , $x$ , $y$ spełniają równanie

$ a+b\sqrt{2001}=(x+y\sqrt{2001})^{2000} $

Udowodnić, że $a \geq 44b$ .

LII OM - I - Zadanie 5

Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej $n \geq 2$ i dowolnej liczby pierwszej $p$ liczba $n^{p^p} + p^p$ jest złożona.

LII OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie

$ x^{2000} + 2000^{1999} = x^{1999} + 2000^{2000}. $

Na tablicy są napisane trzy nieujemne liczby całkowite. Wybieramy z tej trójki dwie liczby $k$ , $m$ i zastępujemy je liczbami $k + m$ i $|k - m|$ , a trzecia liczba pozostaje bez zmiany. Z otrzymaną trójką postępujemy tak samo. Rozstrzygnąć, czy z każdej początkowej trójki liczb całkowitych nieujemnych, kontynuując to postępowanie, można otrzymać trójkę, w której co najmniej dwie liczby są zerami.

LIII OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie takie trójki liczb naturalnych $a$ , $b$ , $c$ , że liczby $a^2 +1$ i $b^2 +1$ są pierwsze oraz

$ (a^2 + 1)(b^2 + 1) = c^2 + 1 . $

LIII OM - II - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie takie trójki liczb pierwszych $p \leq q \leq r$ , że liczby

$ pq+r,\ pq+r^{2},\ qr+p,\ qr+p^{2},\ rp+q,\ rp+q^{2} $

są pierwsze.

LIV OM - III - Zadanie 4

Dana jest liczba pierwsza p oraz takie liczby całkowite $x$ , $y$ , $z$ , że

$ 0 <x <y < z <p. $

Wykazać, że jeśli liczby $x^3$ , $y^3$ , $z^3$ dają takie same reszty przy dzieleniu przez $p$ , to liczba $x^2 + y^2 + z^2$ jest podzielna przez $x + y + z$ .