Planimetria

XX OM - III - Zadanie 6

Dany jest zbiór $n$ punktów płaszczyzny nie zawierający się w jednej prostej. Dowieść, że istnieje okrąg przechodzący przez co najmniej trzy z tych punktów, wewnątrz którego nie ma żadnego z pozostałych punktów zbioru.

XX OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że ośmiokąt, którego wszystkie boki są równe, a wszystkie długości boków są liczbami wymiernymi, ma środek symetrii.

XX OM - II - Zadanie 3

Dany jest czworokąt $ABCD$ wpisany w koło. Obrazami punktów $A$ i $C$ w symetrii względem prostej $BD$ są odpowiednio punkty $A'$ i $C'$ , a obrazami punktów $B$ i $D$ w symetrii względem prostej $AC$ są odpowiednio punkty $B'$ i $D'$ . Dowieść, że punkty $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ leżą na okręgu.

XX OM - I -Zadanie 11

W czworokącie wypukłym $ABCD$ suma odległości każdego wierzchołka od prostych $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ jest taka sama. Dowieść, że czworokąt ten jest równoległobokiem.

XX OM - I -Zadanie 3

Dowieść, że żadna figura nie może mieć dokładnie dwóch środków symetrii.

XXI OM - III -Zadanie 4

Na płaszczyźnie danych jest $n$ prostokątów o bokach odpowiednio równoległych do dwóch danych prostych prostopadłych. Udowodnić, że jeżeli każde dwa z tych prostokątów mają co najmniej jeden punkt wspólny, to istnieje punkt należący do wszystkich prostokątów.

XXI OM - III -Zadanie 1

Średnica $\overline{AB}$ dzieli okrąg na dwa półokręgi. Na jednym półokręgu obrano n punktów $P_1 P_2, \ldots, P_n$ tak, że $P_1$ leży między $A$ i $P_2$ , $P_2$ leży między $P_1$ i $P_3$ , $\ldots$ , $P_n$ leży między $P_{n-1}$ i $B$ . Jak należy wybrać punkt $C$ na drugim półokręgu, aby suma pól trójkątów $CP_1P_2, CP_2P_3, CP_3P_4, \ldots, CP_{n-1}P_n$ była największa?