Stereometria

XLVIII OM - I - Zadanie 7

Obliczyć kres górny objętości czworościanów zawartych w kuli o danym promieniu $R$ , których jedną z krawędzi jest średnica tej kuli.

XLIX OM - I - Zadanie 7

Rozstrzygnąć, czy istnieje wielościan wypukły mający $k$ krawędzi oraz płaszczyzna nie przechodząca przez żaden z jego wierzchołków i przecinająca $r$ krawędzi, przy czym $3r > 2k$ .

Środkowe ścian bocznych $ABD$ , $ACD$ , $BCD$ ostrosłupa $ABCD$ poprowadzone z wierzchołka $D$ tworzą równe kąty z krawędziami, do których zostały poprowadzone. Wykazać, że pole każdej ściany bocznej jest mniejsze od sumy pól pozostałych dwóch ścian bocznych.

XLVIII OM - II - Zadanie 6

W sześcianie o krawędzi długości $1$ leży osiem punktów. Wykazać, że pewne dwa z nich są końcami odcinka o długości nie większej niż $1$ .

XLIX OM - III - Zadanie 3

Pięciokąt wypukły $ABCDE$ jest podstawą ostrosłupa $ABCDES$ . Płaszczyzna przecina krawędzie $SA$ , $SB$ , $SC$ , $SD$ , $SE$ odpowiednio w punktach $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ , $E'$ (różnych od wierzchołków ostrosłupa). Udowodnić, że punkty przecięcia przekątnych czworokątów $ABB'A'$ , $BCC'B'$ , $CDD'C'$ , $DEE'D'$ , $EAA'E'$ leżą na jednej płaszczyźnie.

XLIX OM - II - Zadanie 6

Dany jest czworościan $ABCD$ . Dowieść, że krawędzie $AB$ i $CD$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w przestrzeni taki równoległobok $CDPQ$ , że $PA = PB = PD$ oraz $QA = QB = QC$ .

L OM - II - Zadanie 2

Sześcian $S$ o krawędzi $2$ jest zbudowany z ośmiu sześcianów jednostkowych. Klockiem nazwiemy bryłę otrzymaną przez usunięcie z sześcianu $S$ jednego spośród ośmiu sześcianów jednostkowych. Sześcian $T$ o krawędzi $2^n$ jest zbudowany z $(2^n)^3$ sześcianów jednostkowych. Udowodnić, że po usunięciu z sześcianu $T$ dowolnego spośród $(2^n)^3$ sześcianów jednostkowych powstaje bryła, którą daje się szczelnie wypełnić klockami.

L OM - I - Zadanie 12

Wszystkie wierzchołki sześcianu o krawędzi $a$ leżą na powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi 1. Wyznaczyć możliwe wartości $a$ .

LI OM - III - Zadanie 4

W ostrosłupie prawidłowym o wierzchołku $S$ i podstawie $A_1A_2\ldots A_n$ każda krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $60^\circ$ . Dla każdej liczby naturalnej $n \geq 3$ rozstrzygnąć, czy można wybrać takie punkty $B_2,B_3,\ldots,B_n$ leżące odpowiednio na krawędziach $A_2S, A_3S,\ldots,A_nS$ , że

$<br /> A_1B_2 + B_2B_3 + B_3B_4 +\ldots + B_{n-1}B_n + B_nA_1 < 2A_1S.<br />$

LI OM - I - Zadanie 10

W przestrzeni dane są trzy wzajemnie prostopadłe wektory jednostkowe $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ , $\overrightarrow{OC}$ . Niech $\omega$ będzie płaszczyzną przechodzącą przez punkt $O$ , zaś $A'$ , $B'$ , $C'$ - rzutami punktów $A$ , $B$ , $C$ odpowiednio na płaszczyznę $\omega$ . Wyznaczyć zbiór wartości wyrażenia