2000-2009

III MEMO - Zadanie 7

Na tablicy napisano liczby $0,1,2,\dots,n$ ( $n\geq2$ ). W każdym kroku wymazujemy liczbę będącą średnią arytmetyczną dwóch różnych, jeszcze nie wymazanych liczb. Postępowanie to kontynuujemy tak długo, jak jest to możliwe. Niech $g(n)$ będzie najmniejszą możliwą ilością liczb pozostawionych na tablicy. Wyznaczyć $g(n)$ w zależności od $n$ .

III MEMO - Zadanie 6

Liczby rzeczywiste $a$ , $b$ , $c$ posiadają tę własność, że dla każdych dwóch spośród równań

$ x^2+ax+b=0,\quad x^2+bx+c=0,\quad x^2+cx+a=0 $

istnieje dokładnie jedna liczba rzeczywista będąca rozwiązaniem ich obu. Wyznaczyć wszystkie możliwe wartości wyrażenia $a^2+b^2+c^2$ .

III MEMO - Zadanie 5

Dane są liczby rzeczywiste $x$ , $y$ , $z$ , spełniające zależność $x^2+y^2+z^2+9 = 4(x+y+z)$ . Dowieść, że

$ (1) \qquad x^4+y^4+z^4+16(x^2+y^2+z^2)\geq8(x^3+y^3+z^3)+27 $

oraz rozstrzygnąć, kiedy zachodzi równość.

III MEMO - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite $k\geq2$ o następującej własności: liczba $n^{n-1}-m^{m-1}$ nie jest podzielna przez $k$ dla żadnej pary $(m,n)$ różnych liczb całkowitych dodatnich, mniejszych lub równych $k$ .

III MEMO - Zadanie 3

Niech $ABCD$ będzie czworokątem wypukłym, w którym $AB=CD$ oraz proste $AB$ i $CD$ nie są równoległe. Punkty $E$ i $F$ są środkami przekątnych $AC$ i $BD$ . Prosta $EF$ przecina odcinki $AB$ i $CD$ odpowiednio w punktach $G$ i $H$ . Udowodnić, że $\measuredangle AGH=\measuredangle DHG$ .

III MEMO - Zadanie 2

Dane jest $n\geq3$ różnych kolorów. Niech $f(n)$ będzie największą liczbą całkowitą o następującej własności: Możliwe jest takie pokolorowanie wszystkich boków i przekątnych wielokąta wypukłego o $f(n)$ wierzchołkach, że

wykorzystane są co najmniej dwa różne kolory,
każde trzy wierzchołki wielokąta wyznaczają trójkąt o wszystkich bokach jednakowego koloru lub o wszystkich bokach różnego koloru.

Dowieść, że $f(n)\leq(n-1)^2$ oraz że równość zachodzi dla nieskończenie wielu wartości $n$ .

III MEMO - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie funkcje $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ , spełniające dla dowolnych $x,y\in\mathbb R$ warunek

$ (1) \qquad f(xf(y))+f(f(x)+f(y))=yf(x)+f(x+f(y)). $

Uwaga: $\mathbb{R}$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych.

L MOM - Zadanie 6

Liczby $a_1,a_2,\dots,a_n$ są parami różnymi dodatnimi liczbami całkowitymi, zaś $M$ jest zbiorem $n-1$ dodatnich liczb całkowitych, przy czym $M$ nie zawiera liczby $s=a_1+a_2+\dots+a_n$ . Konik polny skacze wzdłuż osi liczbowej w dodatnim jej kierunku. Zaczyna w punkcie 0 i wykonuje $n$ skoków, których długościami są liczby $a_1,a_2,\dots,a_n$ , wzięte w pewnej kolejności. Udowodnić, że kolejność tę można wybrać w taki sposób, by po żadnym ze skoków konik polny nie wylądował w punkcie należącym do zbioru $M$ .

L MOM - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie funkcje $f$ przekształcające zbiór dodatnich liczb całkowitych w zbiór dodatnich liczb całkowitych takie, że dla każdych dwóch dodatnich liczb całkowitych $a$ oraz $b$ istnieje niezdegenerowany trójkąt, którego boki mają długości

$ a,\quad f(b)\quad\text{oraz}\quad f(b+f(a)-1). $

(Trójkąt niezdegenerowany to taki, którego wierzchołki nie leżą na jednej prostej.)

L MOM - Zadanie 4

W trójkącie $ABC$ zachodzi równość $AB=AC$ . Dwusieczne kątów $CAB$ oraz $ABC$ przecinają jego boki $BC$ oraz $AC$ odpowiednio w punktach $D$ i $E$ . Punkt $K$ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ADC$ . Załóżmy ponadto, że $\measuredangle BEK=45^\circ$ . Wyznaczyć możliwe wartości $\measuredangle CAB$ .