1990-1999

XLVII OM - I - Zadanie 6

Dane są dwa ciągi liczb całkowitych dodatnich: ciąg arytmetyczny o różnicy $r > 0$ i ciąg geometryczny o ilorazie $q > 1$ ; liczby naturalne $r$ , $q$ są względnie pierwsze. Udowodnić, że jeśli te ciągi mają jeden wspólny wyraz, to mają nieskończenie wiele wspólnych wyrazów.

XLVII OM - I - Zadanie 5

Na płaszczyźnie dany jest trójkat $ABC$ , w którym $|\measuredangle CAB| = \alpha > 90^{\circ}$ , oraz odcinek $PQ$ , którego środkiem jest punkt $A$ . Dowieść, że

$<br /> \left( |BP| + |CQ| \right)\cdot \tan \frac{\alpha}{2} \geq |BC|.<br />$

XLVII OM - I - Zadanie 4

Prosta styczna do okręgu wpisanego w trójkat równoboczny $ABC$ przecina boki $AB$ i $AC$ odpowiednio w punktach $D$ i $E$ . Udowodnić, że
$\frac{|AD|}{|DB|} + \frac{|AE|}{|EC|} = 1$ .

XLVII OM - I - Zadanie 3

W pewnej grupie $kn$ osób każda osoba zna więcej niz $(k - 1)n$ innych ( $k$ , $n$ są liczbami naturalnymi). Wykazać, że można z tej grupy wybrać $k + 1$ osób, z których każde dwie sie znają.

Uwaga: Jeżeli osoba $A$ zna osobę $B$ , to osoba $B$ zna osobę $A$ .

XLVII OM - I - Zadanie 2

Liczbą palindromiczną nazywamy taką liczbę naturalną, której zapis dziesiętny czytany od strony lewej do prawej jest taki sam, jak czytany od strony prawej do lewej. Niech $(x_n)$ bedzie rosnącym ciągiem wszystkich liczb palindromicznych. Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze, które są dzielnikami co najmniej jednej z różnic $x_{n+1}-x_n$ .

XLVII OM - I - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite $n$ , dla których równanie $2 \sin nx = \tan x + \cot x$ ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych $x$ .

XLVIII OM - I - Zadanie 12

Grupa złożona z $n$ osób stwierdziła, że codziennie przez pewien okres czasu trzy z nich mogą wspólnie zjeść obiad w restauracji, przy czym każde dwie z nich spotkają się na dokładnie jednym obiedzie. Dowieść, że liczba $n$ przy dzieleniu przez $6$ daje resztę $1$ lub $3$ .

XLVIII OM - I - Zadanie 11

Dana jest liczba naturalna $m\geq 1$ oraz wielomian $P(x)$ stopnia dodatniego o współczynnikach całkowitych mający co najmniej trzy różne pierwiastki całkowite. Dowieść, że wielomian $P(x) + 5^m$ ma co najwyżej jeden pierwiastek całkowity.

XLVIII OM - I - Zadanie 10

Punkty $P$ , $Q$ leżą wewnątrz trójkąta ostrokątnego $ABC$ , przy czym $|\measuredangle ACP| = |\measuredangle BCQ|$ oraz $|\measuredangle CAP| = |\measuredangle BAQ|$ . Punkty $D$ , $E$ , $F$ są rzutami prostokątnymi punktu $P$ odpowiednio na boki $BC$ , $CA$ , $AB$ . Dowieść, że kąt $DEF$ jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy punkt $Q$ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta $BDF$ .