1990-1999

XLVII OM - I - Zadanie 8

Ze środka kwadratu wybiega promień świetlny, który odbija się od boków kwadratu zgodnie z zasadą kąt padania jest równy kątowi odbicia. Po pewnym czasie promień wraca do środka kwadratu. Promień nigdy nie trafił w wierzchołek, ani nie przeszedł wcześniej przez środek. Dowieść, że liczba odbić od boków kwadratu jest nieparzysta.

XLVII OM - I - Zadanie 7

Liczby nieujemne $ a $, $ b $, $ c $, $ p $, $ q $, $ r $ spełniają warunki:

\[<br /> a + b + c = p + q + r = 1; \quad p, q, r \leq \frac{1}{2}.<br /> \]

Udowodnić, że $ 8abc \leq pa + qb + rc $ oraz rozstrzygnąć, kiedy zachodzi równość.

XLVII OM - I - Zadanie 6

Dane są dwa ciągi liczb całkowitych dodatnich: ciąg arytmetyczny o różnicy $ r > 0 $ i ciąg geometryczny o ilorazie $ q > 1 $; liczby naturalne $ r $, $ q $ są względnie pierwsze. Udowodnić, że jeśli te ciągi mają jeden wspólny wyraz, to mają nieskończenie wiele wspólnych wyrazów.

XLVII OM - I - Zadanie 5

Na płaszczyźnie dany jest trójkat $ ABC $, w którym $ |\measuredangle CAB| = \alpha > 90^{\circ} $, oraz odcinek $ PQ $, którego środkiem jest punkt $ A $. Dowieść, że

\[<br /> \left( |BP| + |CQ| \right)\cdot \tan \frac{\alpha}{2} \geq |BC|.<br /> \]

XLVII OM - I - Zadanie 4

Prosta styczna do okręgu wpisanego w trójkat równoboczny $ ABC $ przecina boki $ AB $ i $ AC $ odpowiednio w punktach $ D $ i $ E $. Udowodnić, że
$ \frac{|AD|}{|DB|} + \frac{|AE|}{|EC|} = 1 $.

XLVII OM - I - Zadanie 3

W pewnej grupie $ kn $ osób każda osoba zna więcej niz $ (k - 1)n $ innych ($ k $, $ n $ są liczbami naturalnymi). Wykazać, że można z tej grupy wybrać $ k + 1 $ osób, z których każde dwie sie znają.

Uwaga: Jeżeli osoba $ A $ zna osobę $ B $, to osoba $ B $ zna osobę $ A $.

XLVII OM - I - Zadanie 2

Liczbą palindromiczną nazywamy taką liczbę naturalną, której zapis dziesiętny czytany od strony lewej do prawej jest taki sam, jak czytany od strony prawej do lewej. Niech $ (x_n) $ bedzie rosnącym ciągiem wszystkich liczb palindromicznych. Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze, które są dzielnikami co najmniej jednej z różnic $ x_{n+1}-x_n $.

XLVII OM - I - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite $ n $, dla których równanie $ 2 \sin nx = \tan x + \cot x $ ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych $ x $.

XLVIII OM - I - Zadanie 12

Grupa złożona z $ n $ osób stwierdziła, że codziennie przez pewien okres czasu trzy z nich mogą wspólnie zjeść obiad w restauracji, przy czym każde dwie z nich spotkają się na dokładnie jednym obiedzie. Dowieść, że liczba $ n $ przy dzieleniu przez $ 6 $ daje resztę $ 1 $ lub $ 3 $.

XLVIII OM - I - Zadanie 11

Dana jest liczba naturalna $ m\geq 1 $ oraz wielomian $ P(x) $ stopnia dodatniego o współczynnikach całkowitych mający co najmniej trzy różne pierwiastki całkowite. Dowieść, że wielomian $ P(x) + 5^m $ ma co najwyżej jeden pierwiastek całkowity.

Subskrybuje zawartość