1980-1989

XXXVIII OM - III - Zadanie 4

W zbiorze czworościanów o polu podstawy 1, polu powierzchni całkowitej 4 i mających równe kąty nachylenia ścian bocznych do podstawy znaleźć czworościan o maksymalnej objętości.

Dany jest wielomian $W$ o współczynnikach całkowitych nieujemnych. Określamy ciąg liczb $(p_n)$ , gdzie $p_n$ jest sumą cyfr liczby $W(n)$ . Dowieść, że pewna liczba występuje w ciągu $(p_n)$ nieskończenie wiele razy.

XXXVIII OM - III - Zadanie 2

W okrąg o długości 1 wpisano $n$ -kąt foremny. Spośród łuków okręgu mających końce w wierzchołkach tego wielokąta losujemy ze zwracaniem pięć łuków $L_1, \ldots, L_5$ , przy czym dla wszystkich łuków prawdopodobieństwo wylosowania jest jednakowe. Wykazać, że wartość oczekiwana długości części wspólnej $L_1\cap L_2 \cap L_3 \cap L_4 \cap L_5$ nie zależy od $n$ .

XXXVIII OM - III - Zadanie 1

W kwadracie o boku 1 znajduje się $n$ punktów ( $n > 2$ ). Dowieść, że można je ponumerować $P_1, P_2, ..., P_n$ tak, by \sum_{i=1}^n |P_{i-1}P_i|^2 \leq 4 (przyjmujemy $P_0=P_n$ ).

XXXVIII OM - II - Zadanie 6

Dowolnemu czworokątowi $ABCD$ przyporządkowujemy środki okręgów opisanych na trójkątach $BCD$ , $CDA$ , $DAB$ , $ABC$ . Udowodnić, że jeżeli wierzchołki czworokąta wypukłego $Q$ nie leżą na okręgu, to

a) cztery punkty przyporządkowane w powyższy sposób czworokątowi Q są wierzchołkami czworokąta wypukłego. Oznaczmy ten czworokąt przez $t(Q)$ ,

b) wierzchołki czworokąta $t(Q)$ nie leżą na okręgu,

c) czworokąty $Q$ i $t(t(Q)$ są podobne.

XXXVIII OM - II - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze $p$ i liczby naturalne $x, y$ , dla których $p^x—y^3 = 1$ .

XXXVIII OM - II - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie pary liczb rzeczywistych $a, b$ , dla których wielomiany $x^4 + 2ax^2 + 4bx + a^2$ i $x^3 + ax - b$ mają dwa różne wspólne pierwiastki rzeczywiste.

XXXVIII OM - II - Zadanie 3

Na szachownicy o wymiarach 1000 na 1000 i polach pokolorowanych w zwykły sposób na biało i czarno jest dany zbiór A złożony z 1000 pól. Każde dwa pola zbioru A można połączyć ciągiem pól zbioru A tak, by kolejne pola miały wspólny bok. Dowieść, że w zbiorze A jest co najmniej 250 pól białych.

XXXVIII OM - II - Zadanie 2

Udowodnić, że suma kątów płaskich przy każdym z wierzchołków danego czworościanu wynosi $180^{\circ}$ wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego ściany są przystające.

XXXVIII OM - II - Zadanie 1

Z urny zawierającej jedną kulę oznaczoną numerem 1, dwie kule oznaczone numerem 2, ..., $n$ kul oznaczonych numerem $n$ wyciągamy bez zwracania dwie kule. Przyjmujemy, że wyciągnięcie każdej kuli z urny jest jednakowo prawdopodobne. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że obie wyciągnięte kule mają ten sam numer.

Olimpiady Matematyczne