1960-1969

XVIII OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że wielomian $ x^3 + x + 1 $ jest dzielnikiem wielomianu $ P_n(x) = x^{n + 2} + (x+l)^{2n+1} $ dla każdego całkowitego $ n \geq 0 $.

XVIII OM - III - Zadanie 3

Na sali znajduje się 100 osób, z których każda zna co najmniej 67 innych. Dowieść, że jest na tej sali taka czwórka osób, w której każde dwie osoby się znają. Zakładamy, że jeśli osoba $ A $ zna osobę $ B $, to również osoba $ B $ zna osobę $ A $.

XVIII OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli punkty $ A_1, B_1, C_1 $ leżące odpowiednio na bokach $ BC, CA, AB $ trójkąta $ ABC $ są rzutami prostokątnymi pewnego punktu $ P $ trójkąta na te boki, to

\[<br /> (1) AC_1^2 + BA_1^2 + CB_1^2 = AB_1^2 + BC_1^2 + CA_1^2.<br /> \]

XVIII OM - III - Zadanie 1

Znaleźć najwyższą potęgę liczby 2 będącą dzielnikiem liczby

\[<br /> L_n = (n+1)(n+2)\ldots 2n,<br /> \]

gdzie $ n $ jest liczbą naturalną.

XVIII OM - II - Zadanie 6

Dowieść, ze punkty $ A_1, A_2, \ldots, A_n $ ($ n \geq 7 $) znajdujące się na powierzchni kuli leżą wtedy i tylko wtedy na okręgu, gdy płaszczyzny styczne do powierzchni kuli w tych punktach mają punkt wspólny lub są równoległe do jednej prostej.

XVIII OM - II - Zadanie 5

Na płaszczyźnie leżą dwa trójkąty jeden na zewnątrz drugiego.
Dowieść, że istnieje taka prosta, przechodząca przez dwa wierzchołki jednego trójkąta, że trzeci wierzchołek tego trójkąta oraz drugi trójkąt leżą po przeciwnych stronach tej prostej.

XVIII OM - II - Zadanie 3

Dwa okręgi są styczne wewnętrznie w punkcie $ A $. Poprowadzono cięciwę $ BC $ większego okręgu styczną do mniejszego w punkcie $ D $. Dowieść, że $ AD $ jest dwusieczną kąta $ BAC $.

XVIII OM - II - Zadanie 2

Na sali znajduje się 100 osób, z których każda zna co najmniej 66 spośród pozostałych 99 osób. Dowieść, iż jest możliwe, że w każdej czwórce tych osób są takie dwie, które się nie znają. Przyjmujemy, że jeśli osoba $ A $ zna osobę $ B $, to również osoba $ B $ zna osobę $ A $.

XVIII OM - II - Zadanie 1

Dany jest ciąg liczb $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ ($ n \geq 3 $), w którym $ a_1 = a_n = 0 $ oraz $ a_{k-1}+a_{k+1} \geq 2a_{k+1} $ dla $ k = 2, 3, \ldots, (n - 1) $. Dowieść, że w tym ciągu nie ma wyrazów dodatnich.

Subskrybuje zawartość