Ciągi, Funkcje i ich własności, Kombinatoryka i logika, Liczby całkowite, Liczby rzeczywiste, Nierówności, Planimetria, Rachunek prawdopodobieństwa, Równania funkcyjne, Równania wielomianowe, Stereometria, Wielomiany

IX OM - II - Zadanie 5

Na zewnątrz trójkąta $ ABC $ zbudowano trójkąty równoboczne $ BMC $, $ CNA $ i $ APB $. Dowieść, że środki $ S $, $ T $, $ U $ tych trójkątów tworzą trójkąt równoboczny.

IX OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli

\[<br /> (1) \qquad (a + b + c)^2 = 3 (ab + bc + ac - x^2 - y^2 - z^2),<br /> \]

gdzie $ a $, $ b $, $ c $, $ x $, $ y $, $ z $ oznaczają liczby rzeczywiste, to $ a = b = c $ oraz $ x = y = z = 0 $.

IX OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli wielomian $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $ o współczynnikach całkowitych przybiera dla $ x = 0 $ i $ x = 1 $ wartości nieparzyste, to równanie $ f(x) = 0 $ nie ma pierwiastków całkowitych.

IX OM - II - Zadanie 2

Sześć równych krążków położono na płaszczyźnie w ten sposób, że ich środki leżą w wierzchołkach sześciokąta foremnego o boku równym średnicy krążków. Ile obrotów wykona siódmy krążek tej samej wielkości toczący się w tej samej płaszczyźnie zewnętrznie po krążkach do chwili powrotu do położenia początkowego?

IX OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $ a $ jest liczbą całkowitą różną od $ 1 $ i od $ - 1 $, to $ a^4 + 4 $ nie jest liczbą pierwszą.

IX OM - I - Zadanie 12

Dany jest okrąg o promieniu $ r $ i półproste $ AB $ i $ AC $ styczne do tego okręgu w punktach $ B $ i $ C $. Wyznaczyć taką styczną do danego okręgu, której odcinek zawarty w kącie $ BAC $ jest najkrótszy.

IX OM - I - Zadanie 11

Dowieść, że jeżeli dwa czworokąty mają te same środki boków, to mają równe pola. Wykazać słuszność analogicznego twierdzenia dla wielokątów wypukłych o dowolnej parzystej liczbie boków.

IX OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że zachodzi nierówność

\[<br /> (1) \qquad<br /> \frac{1}{a + b + c} + \frac{1}{a + b + d} + \frac{1}{a + c + d}+ \frac{1}{b + c + d} \geq \frac{16}{3(a + b + c + d)},<br /> \]

gdzie $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ oznaczają liczby dodatnie.

IX OM - I - Zadanie 8

Jaką figurą płaską jest przekrój sześcianu o krawędzi $ a $ płaszczyzną przechodzącą przez środki trzech krawędzi parami skośnych?

Subskrybuje zawartość