Liczby całkowite

LIV OM - III - Zadanie 3

Wyznaczyć wszystkie wielomiany $W$ o współczynnikach całkowitych, spełniające następujący warunek: dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $2^n-1$ jest podzielna przez $W(n)$ .

LIV OM - II - Zadanie 6

Każdej parze liczb całkowitych nieujemnych $(x,y)$ jest przyporządkowana liczba $f (x,y)$ zgodnie z warunkami:

$ \begin{array}{rcl} f (0,0) &=& 0;\\ f (2x, 2y) &=& f (2x +1,2y + 1) = f (x, y),\\ f(2x +1,2y) &=& f(2x, 2y +1)= f(x,y) + 1\ \textrm{dla}\ x,y \geq 0. \end{array} $

Niech $n$ będzie ustaloną liczbą całkowitą nieujemną i niech $a$ , $b$ będą takimi liczbami całkowitymi nieujemnymi, że $f (a,b) = n$ . Rozstrzygnąć, ile jest liczb $x$ spełniających równanie

$ f (a,x) + f (b,x) = n. $

LIV OM - II - Zadanie 4

Wykazać, że dla każdej liczby pierwszej $p > 3$ istnieją liczby całkowite $x$ , $y$ , $k$ spełniające warunki: $0 < 2k <p$ oraz

$ kp + 3 = x^2 + y^2 . $

LIV OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że istnieje taka liczba całkowita $n> 2003$ , że w ciągu

$ {n \choose 0},\ {n \choose 1}, {n \choose 2},\ldots ,{n \choose 2003} $

każdy wyraz jest dzielnikiem wszystkich wyrazów po nim następujących.

LIV OM - I - Zadanie 5

Liczba naturalna $n_1$ zapisana jest w układzie dziesiętnym za pomocą 333 cyfr, z których żadna nie jest zerem. Dla $i = 1 , 2, 3, \ldots , 332$ liczba $n_{i+1}$ powstaje z liczby $n_i$ przez przeniesienie cyfry jedności na początek. Dowieść, że albo wszystkie liczby $n_1, n_2, n_3, \ldots , n_{333}$ są podzielne przez 333, albo żadna z nich.

LIV OM - I - Zadanie 1

Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych dodatnich $x$ , $y$ spełniających równanie

$ (x + y)^2 - 2(xy)^2 = 1. $

LV OM - III - Zadanie 2

Niech $W$ będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych, przyjmującym dla pewnych dwóch różnych liczb całkowitych wartości względnie pierwsze. Dowieść, że istnieje nieskończony zbiór liczb całkowitych, dla których wielomian $W$ przyjmuje wartości parami względnie pierwsze.