Planimetria

XXI OM - I -Zadanie 8

Na stole bilardowym w kształcie kwadratu znajduje się kula. Kulą pchnięto tak, że odbiła się od bandy (kąt padania równa się kątowi odbicia) pod kątem $\alpha$ . Dowieść, że kula będzie sią poruszać po łamanej zamkniętej wtedy i tylko wtedy, gdy $\tan \alpha$ . jest liczbą wymierną. Siłę tarcia oraz wymiary kuli pomijamy.

XXI OM - I -Zadanie 7

W równoległoboku $ABCD$ połączono punkt $A$ ze środkiem $A'$ boku $\overline{BC}$ , punkt $B$ ze środkiem $B'$ boku $\overline{CD}$ , punkt $C$ ze środkiem $C'$ boku $\overline{DA}$ oraz punkt $D$ ze środkiem $D'$ boku $\overline{AB}$ . Udowodnić, że punkty przecięcia prostych $AA'$ i $BB'$ ; $BB'$ i $CC'$ ; $CC'$ i $DD'$ ; $DD'$ i $AA'$ są wierzchołkami czworokąta o polu 5 razy mniejszym od pola równoległoboku $ABCD$ .

XXI OM - I -Zadanie 4

W kwadracie $ABCD$ , którego bok ma długość 1, leży czworokąt wypukły o polu większym od $\frac{1}{2}$ . Dowieść, że w tym czworokącie mieści się odcinek o długości $\frac{1}{2}$ równoległy do $\overline{AB}$ .

XXI OM - I -Zadanie 3

Na bokach $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ , $\overline{AB}$ trójkąta $ABC$ obrano odpowiednio punkty $K, L, M$ w taki sposób, że odcinki $\overline{AK}$ , $\overline{BL}$ , $\overline{CM}$ przecinają się w punkcie o lezącym wewnątrz trójkąta i $\frac{AS}{SK}=\frac{BS}{SL}=\frac{CS}{SM}$ . Dowieść, że $S$ jest środkiem ciężkości trójkąta.

XXII OM - III - Zadanie 2

Na stole bilardowym w kształcie trójkąta, którego miary kątów są współmierne, pchnięto kulę z pewnego punktu wewnętrznego. Kula odbija się od ścian zgodnie z prawem "kąt padania równy kątowi odbicia". Udowodnić, że liczba kierunków, w jakich może się poruszać kula, jest skończona. (Zakładamy, że kula nie trafia w wierzchołek trójkąta).

XXII OM - II - Zadanie 4

Na płaszczyźnie dany jest skończony zbiór punktów $Z$ o tej własności, że żadne dwie odległości punktów zbioru $Z$ nie są równe. Punkty $A, B$ należące do $Z$ łączymy wtedy i tylko wtedy, gdy $A$ jest punktem najbliższym $B$ lub $B$ jest punktem najbliższym $A$ . Udowodnić, że żaden punkt zbioru $Z$ nie będzie połączony z więcej niż pięcioma innymi.

XXII OM - I - Zadanie 3

Przez punkt $P$ , należący do płaszczyzny trójkąta $ABC$ , poprowadzono trzy proste prostopadłe odpowiednio do prostych $BC$ , $AC$ i prostej zawierającej środkową $\overline{CE}$ . Udowodnić, że przetną one prostą zawierającą wysokość $CD$ odpowiednio w takich punktach $K, L, M$ , że $KM = LM$ .