Stereometria

LII OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że suma odległości dowolnego punktu leżącego wewnątrz czworościanu foremnego o krawędzi $1$ od jego wierzchołków jest nie większa niż $3$ .

W przestrzeni dany jest trójkąt $ABC$ oraz sfera $s$ rozłączna z płaszczyzną $ABC$ . Przez każdy z punktów $A$ , $B$ , $C$ poprowadzono prostą styczną do tej sfery. Punkty styczności oznaczono odpowiednio $K$ , $L$ , $M$ . Punkt $P$ leży na sferze $s$ i spełnia warunki

$<br /> \frac{AK}{AP}=\frac{BL}{BP}=\frac{CM}{CP}.<br />$

Udowodnić, że sfera opisana na czworościanie $ABCP$ jest styczna do sfery $s$ .

LIV OM - III - Zadanie 5

Sfera wpisana w czworościan $ABCD$ jest styczna do ściany $ABC$ w punkcie $H$ . Druga sfera jest styczna do ściany $ABC$ w punkcie $O$ oraz jest styczna do płaszczyzn zawierających pozostałe ściany tego czworościanu w punktach, które do czworościanu nie należą. Dowieść, że jeżeli $O$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ , to $H$ jest punktem przecięcia wysokości tego trójkąta.

LV OM - III - Zadanie 5

Wyznaczyć największą liczbę prostych w przestrzeni, przechodzących przez ustalony punkt i takich, że każde dwie przecinają się pod jednakowym kątem.

LV OM - I - Zadanie 8

Punkt $P$ leży wewnątrz czworościanu $ABCD$ . Dowieść, że

$<br /> \measuredangle APB + \measuredangle BPC + \measuredangle CPD + \measuredangle DPA> 360^{\circ} .<br />$

LVI OM - I - Zadanie 7

Trzy sfery, parami styczne zewnętrznie, są styczne do pewnej płaszczyzny w punktach $A$ , $B$ , $C$ . Znając długości odcinków $BC = a$ , $CA = b$ , $AB = c$ , obliczyć promienie tych sfer.

LVII OM - III - Zadanie 5

Dany jest czworościan $ABCD$ , w którym $AB = CD$ . Sfera wpisana w ten czworościan jest styczna do ścian $ABC$ i $ABD$ odpowiednio w punktach $K$ i $L$ . Dowieść, że jeżeli punkty $K$ i $L$ są środkami ciężkości ścian $ABC$ i $ABD$ , to czworościan $ABCD$ jest foremny.

LVII OM - I - Zadanie 8

Czworościan $ABCD$ jest opisany na kuli o środku $S$ i promieniu 1, przy czym $SA \geq SB \geq SC$ . Wykazać, że $SA > \sqrt{5}$ .

I MEMO - Zadanie 7

Czworościan $T$ nazwiemy dobrym, jeżeli wszystkie długości jego krawędzi są różnymi dodatnimi liczbami całkowitymi, z których jedna jest równa 2, a jedna 3. Oznaczmy przez $s(T)$ sumę długości krawędzi dobrego czworościanu $T$ .

Znaleźć wszystkie takie dodatnie liczby całkowite $n$ , dla których istnieje dobry czworościan $T$ spełniający warunek $s(T)=n$ .

Ile istnieje nieprzystających dobrych czworościanów $T$ , dla których $s(T)=2007$ ?

Uwaga: Nie jest konieczne dowodzenie, że rozważane czworościany są niezdegenerowane, tzn. posiadają dodatnią objętość.

XVIII ZMPB - Zadanie 13

Niech $t_1$ , $t_2$ , $\ldots$ , $t_k$ będą różnymi prostymi w przestrzeni ( $k>1$ ). Udowodnić, że istnieją takie punkty $P_i$ na $t_i$ ( $i=1,2,\ldots,k$ ), że $P_{i+1}$ jest rzutem prostokątnym $P_i$ na prostą $t_{i+1}$ ( $i=1,2,\ldots,k-1$ ), a $P_1$ jest rzutem prostokątnym $P_k$ na prostą $t_1$ .}