Olimpiada Matematyczna

IX OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli $k$ jest liczbą naturalną, to

$ (1) \qquad (1 + x)(1 + x^2) (1 + x^4) \ldots (1 + x^{2^k}) = 1 + x + x^2 + x^3+ \ldots + x^m, $

gdzie $m$ jest liczbą naturalną zależną od $k$ ; wyznaczyć $m$ .

IX OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli $n$ jest liczbą naturalną większą od $1$ , to

$ \cos \frac{2\pi}{n} + \cos \frac{4\pi}{n} + \cos \frac{6\pi}{n} + \ldots + \cos \frac{2n \pi}{n} = 0. $

Każdy bok czworokąta wypukłego $ABCD$ podzielono na trzy równe części; przez te punkty podziału boków $AB$ i $AD$ , które leżą bliżej wierzchołka $A$ , poprowadzono prostą i analogicznie postąpiono przy wierzchołkach $B$ , $C$ , $D$ . Dowieść, że środek ciężkości czworokąta utworzonego przez narysowane proste pokrywa się ze środkiem ciężkości czworokąta $ABCD$ .

IX OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, z których środkowa jest sześcianem liczby naturalnej, jest podzielny przez $504$ .

IX OM - II - Zadanie 6

Na płaszczyźnie dane są dwa okręgi $C_1$ i $C_2$ oraz prosta $m$ . Znaleźć na prostej $m$ taki punkt, z którego można do okręgów $C_1$ i $C_2$ poprowadzić styczne jednakowo nachylone do prostej $m$ .

IX OM - II - Zadanie 5

Na zewnątrz trójkąta $ABC$ zbudowano trójkąty równoboczne $BMC$ , $CNA$ i $APB$ . Dowieść, że środki $S$ , $T$ , $U$ tych trójkątów tworzą trójkąt równoboczny.

IX OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli

$ (1) \qquad (a + b + c)^2 = 3 (ab + bc + ac - x^2 - y^2 - z^2), $

gdzie $a$ , $b$ , $c$ , $x$ , $y$ , $z$ oznaczają liczby rzeczywiste, to $a = b = c$ oraz $x = y = z = 0$ .

IX OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli wielomian $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ o współczynnikach całkowitych przybiera dla $x = 0$ i $x = 1$ wartości nieparzyste, to równanie $f(x) = 0$ nie ma pierwiastków całkowitych.

IX OM - II - Zadanie 2

Sześć równych krążków położono na płaszczyźnie w ten sposób, że ich środki leżą w wierzchołkach sześciokąta foremnego o boku równym średnicy krążków. Ile obrotów wykona siódmy krążek tej samej wielkości toczący się w tej samej płaszczyźnie zewnętrznie po krążkach do chwili powrotu do położenia początkowego?

IX OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $a$ jest liczbą całkowitą różną od $1$ i od $- 1$ , to $a^4 + 4$ nie jest liczbą pierwszą.

Olimpiady Matematyczne