2000-2009

IX CPS - Zadanie 6

Dana jest liczba całkowita $n\geq 16$ . Rozważmy zbiór

$ G=\left\{(x,y)\colon x,y\in\{1,2,\dots,n\}\right\}, $

składający się z $n^2$ punktów płaszczyzny. Niech $A$ będzie dowolnym podzbiorem $G$ , zawierającym co najmniej $4n\sqrt{n}$ punktów. Udowodnić, że istnieje co najmniej $n^2$ czworokątów wypukłych, o wierzchołkach w zbiorze $A$ , takich że przekątne każdego z nich przechodzą przez jeden ustalony punkt płaszczyzny.

IX CPS - Zadanie 5

Liczby całkowite dodatnie $a_1,a_2,\dots,a_n$ spełniają następujące warunki:

$1\leq a_1<a_2<\dots<a_n\leq50$ ;
dla dowolnych liczb całkowitych dodatnich $b_1,b_2,\dots,b_n$ istnieje taka liczba całkowita dodatnia $m$ oraz liczby całkowite dodatnie $c_1,c_2,\dots,c_n$ , że

$ mb_i=(c_i)^{a_i}\text{ dla }i=1,2,\dots,n. $

Wykazać, że $n\leq16$ oraz wyznaczyć liczbę różnych ciągów $(a_1,a_2,\dots,a_n)$ spełniających powyższe warunki dla $n=16$ .

IX CPS - Zadanie 4

Dany jest okrąg $k$ i jego cięciwa $AB$ , nie będąca średnicą. Niech $C$ będzie dowolnym punktem na dłuższym łuku $AB$ okręgu $k$ . Oznaczmy przez $K,L$ odbicia punktów $A,B$ względem prostych odpowiednio $BC,AC$ . Udowodnić, że odległość między środkami odcinków $AB$ i $KL$ nie zależy od wyboru punktu $C$ .

IX CPS - Zadanie 3

Niech $k$ będzie okręgiem dopisanym do trójkąta $ABC$ , stycznym do boku $BC$ . Wybierzmy prostą $p$ równoległą do $BC$ , przecinającą odcinki $AB,AC$ w punktach odpowiednio $D,E$ . Oznaczmy przez $l$ okrąg wpisany w trójkąt $ADE$ . Styczne do okręgu $k$ przechodzące przez punkty $D,E$ i nie zawierające punktu $A$ przecinają się w punkcie $P$ . Styczne do okręgu $l$ przechodzące przez punkty $B,C$ i nie zawierające punktu $A$ przecinają się w punkcie $Q$ . Dowieść, że prosta $PQ$ przechodzi przez pewien ustalony punkt, niezależny od wyboru prostej $p$ .

IX CPS - Zadanie 2

Niech $a,k$ będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Ciąg $(a_n)_{n=1}^\infty$ definiujemy następująco:

$ a_1=a\quad\text{oraz}\quad a_{n+1}=a_n+k\varrho(a_n),\quad\text{dla }n=1,2,\dots, $

gdzie $\varrho(m)$ oznacza iloczyn cyfr liczby $m$ w zapisie dziesiętnym (np. $\varrho(413)=12$ , $\varrho(308)=0$ ). Udowodnić, że istnieją takie liczby całkowite dodatnie $a$ i $k$ , że ciąg $(a_n)_{n=1}^\infty$ przyjmuje dokładnie 2009 różnych wartości.

IX CPS - Zadanie 1

Niech $\mathbb R_+$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych dodatnich. Znaleźć wszystkie funkcje $f:\mathbb R_+\to\mathbb R_+$ , spełniające dla dowolnych $x,y\in\mathbb R_+$ zależność

$ (1+yf(x))(1-yf(x+y))=1. $

XLVIII MOM - Zadanie 6

Niech $n$ będzie liczbą całkowitą dodatnią. Rozpatrujemy

$ S=\{(x,y,z):x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\},\,x+y+z>0\} $

jako zbiór $(n+1)^3-1$ punktów w przestrzeni trójwymiarowej. Wyznaczyć najmniejszą możliwą liczbę płaszczyzn, których suma zawiera zbiór $S$ , ale nie zawiera punktu $(0,0,0)$ .

XLVIII MOM - Zadanie 5

Niech $a$ oraz $b$ będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Dowieść, że jeśli liczba $(4a^2-1)^2$ jest podzielna przez $4ab-1$ , to $a=b$ .

XLVIII MOM - Zadanie 4

W trójkącie $ABC$ dwusieczna kąta $BCA$ przecina okrąg opisany na tym trójkącie w punkcie $R$ różnym od $C$ , symetralną odcinka $BC$ w punkcie $P$ oraz symetralną odcinka $AC$ w punkcie $Q$ . Punkt $K$ jest środkiem odcinka $BC$ , a punkt $L$ jest środkiem odcinka $AC$ . Wykazać, że trójkąty $RPK$ oraz $RQL$ mają równe pola.

XLVIII MOM - Zadanie 3

W zawodach matematycznych niektórzy uczestnicy przyjaźnią się. Przyjaźń jest zawsze wzajemna. Grupę uczestników nazwiemy kliką, jeśli każdych dwóch zawodników tej grupy przyjaźni się. (W szczególności, każda grupa złożona z mniej niż dwóch zawodników jest kliką.) Liczbę osób, jaką liczy klika nazwiemy jej rozmiarem.

Wiadomo, że w zawodach tych rozmiar największej kliki jest liczbą parzystą. Dowieść, że uczestników zawodów można rozdzielić do dwóch pokoi tak, aby rozmiar największej kliki w jednym pokoju był równy rozmiarowi największej kliki w drugim pokoju.

Olimpiady Matematyczne