1960-1969

XVIII OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że jeżeli punkty $A, B, C, D, E$ przestrzeni są tak położone, że

$ (1) \qquad AB = BC = CD = DE = EA, $

$ (2) \qquad \measuredangle ABC = \measuredangle BCD = \measuredangle CDE = \measuredangle DEA = \measuredangle EAB, $

to punkty $A, B, C, D, E$ znajdują się na jednej płaszczyźnie.

XVIII OM - I - Zadanie 11

Dane są trzy okręgi o tym samym promieniu, przecinające się parami i mające jeden punkt wspólny. Dowieść, że pozostałe trzy punkty przecięcia okręgów leżą na okręgu o tymże promieniu.

XVIII OM - I - Zadanie 10

Trójka liczb całkowitych tworzy postęp geometryczny o ilorazie całkowitym. Gdy najmniejszą z nich zwiększymy o 9, powstanie postęp arytmetyczny. Jakie to liczby?

XVIII OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że jeżeli liczby $\alpha^2$ , $\beta^2$ , $\alpha\beta$ są wymierne, to istnieją takie liczby wymierne $k$ , $a$ i $b$ , że

$ \alpha^2 = ka^2,\quad \beta^2 = kb^2,\quad \alpha\beta = kab. $

Dana jest kula $k$ , okrąg $c$ leżący na jej powierzchni oraz taki punkt $S$ nie leżący na tej powierzchni, że każda prosta przechodząca przez $S$ i przez jakiś punkt $M$ okręgu $c$ przecina powierzchnię kuli $k$ jeszcze w pewnym punkcie $N$ różnym od $M$ . Udowodnić, że zbiór $Z$ wszystkich punktów $N$ tworzy okrąg.

XVIII OM - I - Zadanie 7

Na płaszczyźnie leży $2n$ punktów. Dowieść, że istnieje prosta nie przechodząca przez żaden z tych punktów i dzieląca płaszczyznę na półpłaszczyzny, z których każda zawiera $n$ spośród danych punktów. Sformułować i udowodnić analogiczne twierdzenie dla przestrzeni.

XVIII OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $a, b, c, d$ spełniają równania

$ \begin{split} a^2 + b^2 &= cd,\\ c^2 + d^2 &= ab \end{split} $

to

$ a = b = c = d = 0. $

XVIII OM - I - Zadanie 5

Znaleźć takie liczby naturalne $p$ i $q$ , żeby pierwiastki równań $x^2-qx+p = 0$ i $x^2-px+q = 0$ były liczbami naturalnymi.

XVIII OM - I - Zadanie 4

W okrąg o środku $O$ wpisano trójkąt $ABC$ i wyznaczono punkty $A_1$ i $B_1$ odpowiednio symetryczne, do wierzchołków $A$ i $B$ względem punktu $O$ oraz punkt $P$ , w którym prosta przechodząca przez punkt $A_1$ i środek $M$ boku $BC$ przecina się z prostą poprowadzoną przez punkt $B_1$ i środek $N$ boku $AC$ .
Dowieść, że środek ciężkości $S$ trójkąta $ABC$ leży na odcinku $PO$ i dzieli go w stosunku $2:1$ .

XVIII OM - I - Zadanie 3

W czworokącie wypukłym $ABCD$ połączono odcinkami środek M boku AB z wierzchołkami $C$ i $D$ , a środek $N$ boku $CD$ z wierzchołkami $A$ i $B$ . Odcinki $AN$ i $DM$ przecinają się w punkcie $P$ , a odcinki $BN$ i $CM$ w punkcie $Q$ . Dowieść, że pole czworokąta $MQNP$ równa się sumie pól trójkątów $APD$ i $CQB$ .