Liczby całkowite

LVI OM - III - Zadanie 3

W kwadratowej tablicy o wymiarach $2n \times 2n$ , gdzie $n$ jest liczbą naturalną, znajduje się $4n^2$ liczb rzeczywistych o sumie równej 0 (na każdym polu tablicy jedna liczba). Wartość bezwzględna każdej z tych liczb jest nie większa od 1. Dowieść, że wartość bezwzględna sumy wszystkich liczb z pewnego rzędu (poziomego lub pionowego) nie przekracza $n$ .

LVI OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie trójki $(x,y,n)$ liczb całkowitych dodatnich spełniające równanie

$ (x-y)^n=xy. $

LVI OM - II - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite $n$ , dla których

$ n^n+1\ \textrm{oraz}\ (2n)^{2n}+1 $

są liczbami pierwszymi.

LVI OM - I - Zadanie 4

Dana jest dodatnia liczba całkowita $n$ oraz dodatnie liczby rzeczywiste $a$ , $b$ . Wyznaczyć największą możliwą wartość sumy

$ x_1y_1 +x_2y_2 +\ldots+x_ny_n, $

gdy $x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{n},\ y_{1},\ y_{2},\ \ldots,\ y_{n}$ są liczbami z przedziału $\langle 0;1\rangle$ , spełniającymi warunki

$ (1)\qquad x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\leq a,\qquad y_{1}+y_{2}+\ldots+y_{n}\leq b. $

LVI OM - I - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $n>1$ , dla których wartość sumy $2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}$ jest potęgą liczby pierwszej o wykładniku naturalnym.

LVII OM - III - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite dodatnie $k$ , dla których liczba $3^k+5^k$ jest potęgą liczby całkowitej o wykładniku naturalnym większym od 1.

LVII OM - II - Zadanie 6

Dana jest liczba pierwsza $p$ oraz liczba całkowita $n$ , przy czym $p \geq n \geq 3$ . Zbiór $A$ składa się z $n$ -wyrazowych ciągów o wyrazach ze zbioru $\{0,1,2,\dots ,p-1\}$ i ma następującą własność:

Dla dowolnych dwóch ciągów $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ oraz $(y_1,y_2,\dots ,y_n)$ ze zbioru $A$ istnieją takie różne liczby
$k, l, m$ , że

$ x_k\neq y_k,\quad x_l\neq y_l,\quad x_m\neq y_m. $

Wyznaczyć największą możliwą liczbę elementów zbioru $A$ .

LVII OM - II - Zadanie 1

Liczby całkowite dodatnie $a, b, c, x, y, z$ spełniają równości

$ a^2 + b^2 = c^2, \quad x^2+y^2 = z^2 $

oraz nierówności $|x-a|\leq 1$ , $|y-b|\leq 1$ .

Wykazać, że zbiory $\{a,b\}$ oraz $\{x,y\}$ są równe.

LVII OM - I - Zadanie 9

Dane są nieujemne liczby całkowite $k_1 <k_2 <\dots <k_m$ . Niech

$ n =2^{k_1} +2^{k_2} +\dots+2^{k_m}. $

Wyznaczyć liczbę nieparzystych współczynników wielomianu

$ P(x)=(x+1)^n . $

LVII OM - I - Zadanie 7

Dana jest liczba pierwsza $p> 3$ oraz takie liczby całkowite dodatnie $a, b, c$ , że $a + b+ c = p+1$ oraz liczba
$a^3 +b^3 +c^3 -1$ jest podzielna przez $p$ . Udowodnić, że co najmniej jedna z liczb $a, b, c$ jest równa 1.

Olimpiady Matematyczne