Planimetria

XXIII OM - II - Zadanie 2

W prostokącie o bokach długości 20 i 25 umieszczono 120 kwadratów o boku długości 1. Dowieść, że istnieje koło o średnicy 1 zawarte w tym prostokącie i nie mające punktów wspólnych z żadnym z tych kwadratów.

XXIII OM - I - Zadanie 8

Na płaszczyźnie dane są dwa przystające trójkąty równoboczne $ABC$ i $A'B'C'$ . Udowodnić, że jeżeli środki odcinków $\overline{AA'}$ , $\overline{BB'}$ , $\overline{CC'}$ nie są współliniowe, to są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

XXIII OM - I - Zadanie 7

Łamana zawarta w kwadracie o boku długości 50 ma tę własność, że odległość dowolnego punktu tego kwadratu od niej jest mniejsza od 1 Udowodnić, że długość tej łamanej jest większa od 1248.

XXIV OM - III - Zadanie 6

Dowieść, że dla dowolnego wielokąta wypukłego mającego środek symetrii istnieje co najwyżej jedna elipsa o najmniejszym polu zawierająca dany wielokąt.
Uwaga. Pole elipsy o półosiach długości $a$ i $b$ wyraża się wzorem $\pi ab$ .

XXIV OM - III - Zadanie 4

Na prostej dany jest układ odcinków o łącznej długości $< 1$ . Dowieść, że dowolny układ $n$ punktów prostej można przesunąć na niej o wektor długości $\leq \frac{n}{2}$ tak, aby po przesunięciu żaden z punktów nie leżał na żadnym z danych odcinków.

XXIV OM - II - Zadanie 2

W kwadracie danych jest dziewięć punktów, z których, żadne trzy nie są współliniowe. Dowieść, że trzy spośród nich są wierzchołkami trójkąta o polu nie przekraczającym $\frac{1}{8}$ pola kwadratu.

XXIV OM - I - Zadanie 10

Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną $n > 1$ o następującej własności: istnieje taki zbiór $Z$ złożony z $n$ punktów płaszczyzny, że każda prosta $AB$ ( $A, B\in Z$ ) jest równoległa do pewnej innej prostej $CD$ ( $C, D \in Z$ ).

XXIV OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że dla każdego trójkąta istnieje prosta dzieląca ten trójkąt na dwie figury o równych obwodach i równych polach.

XXV OM - II - Zadanie 4

W czworokącie wypukłym $ABCD$ o polu $S$ każdy z boków podzielono na 3 równe części i poprowadzono odcinki łączące odpowiednie punkty podziału przeciwległych boków w ten sposób, że czworokąt został podzielony na 9 czworokątów. Dowieść, że suma pól następujących trzech czworokątów powstałych z podziału: zawierającego wierzchołek $A$ , środkowego i zawierającego wierzchołek $C$ równa jest $\frac{S}{3}$ .