Stereometria

LVIII OM - III - Zadanie 5

W czworościanie $ ABCD $ spełnione są zależności

\[<br /> \begin{split}\measuredangle BAC+\measuredangle BDC & =\measuredangle ABD+\measuredangle ACD, \\<br /> \measuredangle BAD+\measuredangle BCD & =\measuredangle ABC+\measuredangle ADC.<br /> \end{split}<br /> \]

Udowodnić, że środek sfery opisanej na tym czworościanie leży na prostej przechodzącej przez środki krawędzi $ AB $ i $ CD $.

LVIII OM - I - Zadanie 7

Dany jest czworościan $ ABCD $. Dwusieczna kąta $ ABC $ przecina krawędź $ AC $ w punkcie $ Q $. Punkt $ P $ jest symetryczny do $ D $ względem punktu $ Q $. Punkt $ R $ leży na krawędzi $ AB $, przy czym $ {BR={1\over2}BC} $. Udowodnić, że z odcinków o długościach $ BP $, $ CD $ oraz $ 2\cdot QR $ można zbudować trójkąt.

LIX OM - III -Zadanie 5

Pola wszystkich przekrojów równoległościanu $ \mathcal{R} $ płaszczyznami przechodzącymi przez środki trzech jego krawędzi,
z których żadne dwie nie są równoległe i nie mają punktów wspólnych, są równe. Udowodnić, że równoległościan
$ \mathcal{R} $ jest prostopadłościanem.

LIX OM - I -Zadanie 8

Dany jest ostrosłup czworokątny $ ABCDS $ o podstawie czworokąta wypukłego $ ABCD $. Sfera wpisana w ten
ostrosłup jest styczna do ściany $ ABCD $ w punkcie $ P $. Dowieść, że

\[<br /> \measuredangle APB + \measuredangle CPD = 180^{\circ}.<br /> \]

LX OM - III - Zadanie 5

Sfera wpisana w czworościan $ ABCD $ jest styczna do jego ścian $ BCD, ACD, ABD, ABC $ odpowiednio w punktach
$ P, Q, R, S $. Odcinek $ PT $ jest średnicą tej sfery, zaś punkty $ A',Q',R',S' $ są punktami przecięcia prostych
$ TA, TQ, TR, TS $ z płaszczyzną $ BCD $. Wykazać, że $ A' $ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ Q'R'S' $.

LX OM - I - Zadanie 8

Przekątne podstawy $ ABCD $ ostrosłupa $ ABCDS $ przecinają się pod
kątem prostym w punkcie $ H $, będącym spodkiem wysokości ostrosłupa.
Niech $ K $, $ L $, $ M $, $ N $ będą rzutami prostokątnymi punktu $ H $
odpowiednio na ściany $ ABS $, $ BCS $, $ CDS $, $ DAS $. Dowieść, że proste
$ KL $, $ MN $ i $ AC $ są równoległe lub przecinają się w jednym punkcie.

Subskrybuje zawartość