Olimpiada Matematyczna

IX OM - I - Zadanie 12

Dany jest okrąg o promieniu $r$ i półproste $AB$ i $AC$ styczne do tego okręgu w punktach $B$ i $C$ . Wyznaczyć taką styczną do danego okręgu, której odcinek zawarty w kącie $BAC$ jest najkrótszy.

IX OM - I - Zadanie 11

Dowieść, że jeżeli dwa czworokąty mają te same środki boków, to mają równe pola. Wykazać słuszność analogicznego twierdzenia dla wielokątów wypukłych o dowolnej parzystej liczbie boków.

IX OM - I - Zadanie 10

Dowieść, że dla każdego naturalnego $n$

$ \sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{4\pi}{n} + \sin \frac{6\pi}{n} + \ldots + \sin \frac{2n \pi}{n} = 0. $

IX OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że zachodzi nierówność

$ (1) \qquad \frac{1}{a + b + c} + \frac{1}{a + b + d} + \frac{1}{a + c + d}+ \frac{1}{b + c + d} \geq \frac{16}{3(a + b + c + d)}, $

gdzie $a$ , $b$ , $c$ , $d$ oznaczają liczby dodatnie.

IX OM - I - Zadanie 8

Jaką figurą płaską jest przekrój sześcianu o krawędzi $a$ płaszczyzną przechodzącą przez środki trzech krawędzi parami skośnych?

IX OM - I - Zadanie 7

Dowieść, że jeżeli figura płaska o rozmiarach skończonych ma środek symetrii $O$ i oś symetrii $s$ , to punkt $O$ leży na prostej $s$ .

IX OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli liczby $a$ , $b$ , $c$ , $d$ spełniają warunki

$ ac - bd \ne 0 \textrm{ i } (a^2 - b^2) (c^2 - d^2) < 0, $

to funkcja

$ (1) \qquad y = \frac{(ax + b) (cx + d)}{(bx + a) (dx + c)} $

przybiera wszystkie wartości rzeczywiste.

IX OM - I - Zadanie 5

Dowieść, że liczba

$ 53^{103} + 103^{53} $

jest podzielna przez $78$ .

IX OM - I - Zadanie 4

Dany jest odcinek $AH$ i na nim punkt $M$ ; zbudować trójkąt $ABC$ w ten sposób, żeby odcinek $AH$ był jedną z wysokości trójkąta $ABC$ , a punkt $M$ - środkiem jednej z pozostałych wysokości.

Od trójkąta $ABC$ odcięto trzy trójkąty narożne prostymi równoległymi do boków trójkąta i stycznymi do kola wpisanego w ten trójkąt. Dowieść, że suma promieni kół wpisanych w trójkąty odcięte równa się promieniowi koła wpisanego w trójkąt $ABC$ .

Olimpiady Matematyczne