1980-1989

XXXVIII OM - I - Zadanie 2

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by liczby dodatnie $a, b, c$ były długościami boków pewnego trójkąta jest, by spełniały one nierówność $|a—b| < c < |a+b|$ . Sformułować i udowodnić analogiczne warunki konieczne i wystarczające na to, by trzy liczby dodatnie były długościami:

a) wysokości pewnego trójkąta,

b) środkowych pewnego trójkąta.

Czytaj dalej

XXXVIII OM - I - Zadanie 1

Wielomian $P(x) = a_0+a_1x+ \ldots +a_nx_n^n$ spełnia warunki $P(1) = 0$ oraz $P(x) \geq 0$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$ . Dowieść, że

$ a_n+2a_{n-1}+ \ldots +(n+1)a_0 = 0. $

XXXIX OM - III - Zadanie 6

Obliczyć maksymalną objętość czworościanu zawartego w półkuli o promieniu długości 1.

XXXIX OM - III - Zadanie 5

Ciąg $(a_n)$ określony Jest warunkami $a_1 = a_2 = a_3 = 1$ , $a_{n+1} = a_{n+2}a__{n+1}+a_n$ ( $n \geq 1$ ). Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej $r$ istnieje taka liczba $s$ , że $a_s$ jest podzielne przez $r$ .

XXXIX OM - III - Zadanie 4

Niech $d$ będzie liczbą całkowitą dodatnią, a $f \: \langle 0; d\rangle \to \mathbb{R}$ taką funkcją ciągłą, że $f(0) = f(d)$ . Udowodnić, że istnieje $x \in \langle 0; d-1\rangle$ takie, że $f{x) = -f(x + 1)$ .

XXXIX OM - III - Zadanie 3

Niech $W$ będzie wielokątem (niekoniecznie wypukłym) mającym środek symetrii. Udowodnić, że istnieje taki równoległobok zawierający $W$ , że środki boków tego równoległoboku należą do brzegu $W$ .

XXXIX OM - III - Zadanie 2

Dla permutacji $P=(p_1, \ldots, p_n)$ zbioru $\{1,2,\ldots, n\}$ definiujemy $X(P)$ jako liczbę wyrazów $p_s$ permutacji $P$ mających następującą własność: dla każdego $i < s$ zachodzi nierówność $p_i < p_s$ . Zakładając, że wszystkie permutacje są jednakowo prawdopodobnymi zdarzeniami losowymi, obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej $X$ .

XXXIX OM - III - Zadanie 1

Liczby $x_1, x_2, \ldots, x_n$ należące do przedziału $\langle 0; 1\rangle$ spełniają warunek

$ \sum_{i=1}^n x_i = m+r, $

gdzie $m$ jest liczbą całkowitą, $r \in \langle 0; 1)$ . Dowieść, że

$ \sum_{i=1}^n x_i^2 \leq m+r^2 $

XXXIX OM - II - Zadanie 6

Dany jest wielościan wypukły o $k$ ścianach $S_1, \ldots, S_k$ . Oznaczmy wektor długości 1 prostopadły do ściany $S_i$ ( $i = 1, \ldots, k$ ) zwrócony na zewnątrz danego wielościanu przez $\overrrightarrow{n_i}$ , natomiast pole powierzchni tej ściany przez $P_i$ . Dowieść, że