1970-1979

XXIX OM - II - Zadanie 2

Na płaszczyźnie dany jest zbiór $ M $ punktów o następujących własnościach:
1. Punkty zbioru $ M $ nie leżą na jednej prostej,
2. Jeżeli punkty $ A, B, C, D $są wierzchołkami równoległoboku oraz $ A, B, C \in M $, to $ D \in M $,
3. Jeżeli $ A, B \in M $, to $ AB \geq 1 $.
Udowodnić, że istnieją takie dwie rodziny prostych równoległych, że $ M $ jest zbiorem wszystkich punktów przecięcia prostych pierwszej rodziny z prostymi drugiej rodziny.

XXIX OM - I - Zadanie 12

Wyznaczyć kres górny zbioru takich liczb $ \alpha \leq \frac{\pi}{2} $, że każdy kąt ostry $ MON $ o mierze $ \alpha $ i każdy trójkąt $ T $ na płaszczyźnie mają następującą własność. Istnieje trójkąt $ ABC $ izometryczny z $ T $ taki, że bok $ \overline{AB}% jest równoległy do $OM$ oraz proste prostopadłe do $ON$ i przechodzące przez środki ciężkości trójkątów $ABC$ oraz $ABC'$ odpowiednio przecinają odcinek $\overline{AB}; $ C' $ jest obrazem symetrycznym wierzchołka $ C $ względem symetralnej boku $ \overline{AB} $.
Uwaga. Fizycznie zadanie oznacza: Jaki ma być kąt nachylenia równi pochyłej, aby dla dowolnego trójkąta można było wybrać pewien bok tak, że trójkąt przyłożony tym bokiem do równi nie przewróci się.

XXIX OM - I - Zadanie 11

Niech $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ będzie funkcją ciągłą, dla której istnieje liczba $ x $ spełniająca warunki: $ f(f(f(x))) = x $, $ f(x) \neq x $.
Udowodnić, że istnieją takie liczby $ y_1 $, $ y_2 $, $ y_3 $, że $ y_i \neq y_j $ dla $ i \neq j $ oraz $ f(f(y_k))=y_k $ dla $ k = 1, 2, 3 $.
Uwaga. Wiadomo, że każda funkcja ciągła $ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ ma własność Darboux, to znaczy jeżeli $ a < b $ i $ d $ jest zawarte pomiędzy $ g(a) $ i $ g(b) $, to istnieje taka liczba $ c \in [a, b] $, że $ g(c) = d $.

XXIX OM - I - Zadanie 10

Punkt $ O $ jest punktem wewnętrznym czworokąta wypukłego $ ABCD $, $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $, $ D_1 $ są rzutami prostokątnymi punktu $ O $ odpowiednio na proste $ AB $, $ BC $, $ CD $ i $ DA $, $ A_{i+1} $, $ B_{i+1} $, $ C_{i+1} $, $ D_{i+1} $ są odpowiednio rzutami prostokątnymi punktu $ O $ na proste $ A_iB_i $, $ B_iC_i $, $ C_iD_i $, $ D_iA_i $. Dowieść, że czworokąty $ A_4B_4C_4D_4 $ i $ ABCD $ są podobne.

XXIX OM - I - Zadanie 9

Udowodnić, że z każdego ciągu liczb naturalnych można wybrać podciąg, którego każde dwa wyrazy są względnie pierwsze, lub podciąg, którego wszystkie wyrazy mają wspólny dzielnik większy od 1.

XXIX OM - I - Zadanie 8

Niech $ (a_n) $ będzie takim ciągiem niemalejącym liczb naturalnych, że ciąg $ \left(\frac{n}{a_n}\right) $ jest nieograniczony. Udowodnić, że wśród wyrazów ciągu $ \left(\frac{n}{a_n}\right) $ jest nieskończenie wiele liczb całkowitych.

XXIX OM - I - Zadanie 7

Dla ustalonej liczby nąturalnej $ n>2 $ określamy: $ x_1 = n $, $ y_1=1 $, $ x_{i+1} = \left[\frac{1}{2}(x_i+y_i)\right] $, $ y_{i+1} = \left[ \frac{n}{x_{i+1}}\right] $ Dowieść że najmniejsza z liczb $ x_1 x_2, \ldots, x_n $ jest równa [\sqrt{n}].
Uwaga. $ [a] $ oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od $ a $.

XXIX OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że na płaszczyźnie dowolna łamana zamknięta o długości 1 zawiera się w pewnym kole o promieniu długości $ \frac{1}{4} $

XXIX OM - I - Zadanie 5

Dla jakich liczb naturalnych $ n $ istnieją niezerowe wielomiany
$ f(x_1,x_2, \ldots ,x_n) $, $ g(x_1,x_2, \ldots ,x_n) $ o współczynnikach całkowitych spełniające równość

\[<br /> \left(\sum_{i=1}{n} x_i\right)\cdot f(x_1,x_2, \ldots ,x_n) = g(x_1^2,x_2^2, \ldots ,x_n^2) ?<br /> \]
Subskrybuje zawartość