Ciągi, Funkcje i ich własności, Kombinatoryka i logika, Liczby całkowite, Liczby rzeczywiste, Nierówności, Planimetria, Rachunek prawdopodobieństwa, Równania funkcyjne, Równania wielomianowe, Stereometria, Wielomiany

X OM - III - Zadanie 2

W trójkącie równobocznym $ ABC $ obrano punkt $ O $ i opuszczono prostopadle $ OM $, $ ON $, $ OP $ odpowiednio na boki $ BC $, $ CA $, $ AB $. Dowieść, że suma odcinków $ AP $, $ BM $, $ CN $ nie zależy od położenia punktu $ O $.

X OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że dla dowolnych liczb $ a $ i $ b $ zachodzi nierówność

\[<br /> (1) \qquad<br /> \frac{a+b}{2} \cdot \frac{a^2+b^2}{2} \cdot \frac{a^3+b^3}{2} \leq<br /> \frac{a^6+b^6}{2}.<br /> \]

X OM - II - Zadanie 6

Z punktu $ M $ powierzchni kuli poprowadzono trzy wzajemnie prostopadłe cięciwy kuli $ MA $, $ MB $, $ MC $. Dowieść, że odcinek łączący punkt $ M $ ze środkiem kuli przecina płaszczyznę trójkąta $ ABC $ w środku ciężkości tego trójkąta.

X OM - II - Zadanie 5

Na płaszczyźnie, umieszczono $ n \geq 3 $ odcinków w ten sposób, że każde $ 3 $ z nich mają punkt wspólny. Dowieść, że istnieje punkt wspólny wszystkich odcinków.

X OM - II - Zadanie 4

Dany jest ciąg liczb $ 13, 25, 43, \ldots $ którego $ n $-ty wyraz jest określony wzorem

\[<br /> a_n =3(n^2 + n) + 7.<br /> \]

Dowieść, że ciąg ten ma następujące własności:

1° Wśród każdych pięciu kolejnych wyrazów ciągu dokładnie jeden jest podzielny przez $ 5 $,

2° Żaden wyraz ciągu nie jest sześcianem liczby całkowitej.

X OM - II - Zadanie 2

Przy jakiej zależności między bokami trójkąta jest on podobny do trójkąta utworzonego z jego środkowych ?

X OM - II - Zadanie 1

Jaki warunek konieczny i dostateczny powinny spełniać współczynniki $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, aby równanie

\[<br /> (1) \qquad ax^3 + bx^2 + cx + d = 0<br /> \]

miało dwa pierwiastki przeciwne ?

X OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że, jeżeli w trójkącie $ ABC $ liczby $ \tg A $, $ \tg B $ i $ \tg C $ tworzą postęp arytmetyczny, to liczby $ \sin 2A $, $ \sin 2B $ i $ \sin 2C $ tworzą również postęp arytmetyczny.

X OM - I - Zadanie 11

Po tej samej stronie prostej $ AB $ zbudowano trzy półokręgi o średnicach $ AB = a + b $, $ AC = a $, $ CB = b $. Obliczyć promień koła wpisanego w figurę ograniczoną tymi półokręgami, mając dane $ a $ i $ b $.

Subskrybuje zawartość