Liczby całkowite

LVII OM - I - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie nieujemne liczby całkowite $n$ , dla których liczba
$2^n +105$ jest kwadratem liczby całkowitej.

I OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że suma sześcianów $n$ kolejnych wyrazów postępu arytmetycznego jest podzielna przez sumę tych wyrazów.

I OM - B - Zadanie 20

Boki trójkąta prostokątnego są wyrażone liczbami naturalnymi. Jedna z przyprostokątnych wyrażona jest liczbą 10. Obliczyć pozostałe boki tego trójkąta.

I OM - B - Zadanie 18

Podać sposób wyznaczenia najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb naturalnych $1, 2, 3, \dots , n$ .

I OM - B - Zadanie 14

Dowieść, że suma liczb naturalnych wtedy i tylko wtedy jest podzielna przez 9, gdy suma wszystkich cyfr tych liczb jest podzielna przez 9.

III MEMO - Zadanie 12

Rozwiązać równanie

$ (1) \qquad 2^x+2009=3^y5^z $

w liczbach całkowitych nieujemnych $x$ , $y$ , $z$ .

III MEMO - Zadanie 11

Znaleźć wszystkie pary $(m,n)$ liczb całkowitych, spełniające równanie

$ (m+n)^4=m^2n^2+m^2+n^2+6mn. $

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite $k\geq2$ o następującej własności: liczba $n^{n-1}-m^{m-1}$ nie jest podzielna przez $k$ dla żadnej pary $(m,n)$ różnych liczb całkowitych dodatnich, mniejszych lub równych $k$ .

L MOM - Zadanie 1

Dana jest dodatnia liczba całkowita $n$ oraz parami różne liczby całkowite $a_1,\dots,a_k$ ( $k\geq2$ ), będące elementami zbioru $\{1,\dots,n\}$ . Ponadto, dla każdego $i=1,\dots,k-1$ , liczba $n$ jest dzielnikiem liczby $a_i(a_{i+1}-1)$ . Udowodnić, że $n$ nie jest dzielnikiem liczby $a_k(a_1-1)$ .

IX CPS - Zadanie 5

Liczby całkowite dodatnie $a_1,a_2,\dots,a_n$ spełniają następujące warunki:

$1\leq a_1<a_2<\dots<a_n\leq50$ ;
dla dowolnych liczb całkowitych dodatnich $b_1,b_2,\dots,b_n$ istnieje taka liczba całkowita dodatnia $m$ oraz liczby całkowite dodatnie $c_1,c_2,\dots,c_n$ , że

$ mb_i=(c_i)^{a_i}\text{ dla }i=1,2,\dots,n. $