Planimetria

XXV - I - Zadanie 7

Udowodnić, że jeżeli w trójkącie ostrokątnym każdą wysokość można za pomocą ruchu sztywnego przenieść wewnątrz trójkąta tak, aby jej spodek zajął miejsce wierzchołka, a wierzchołek miejsce spodka, to trójkąt jest równoboczny.

XXV - I - Zadanie 3

Udowodnić, że dwusieczne kątów utworzonych przez proste zawierające przeciwległe boki czworokąta wypukłego wpisanego w okrąg są odpowiednio równoległe do dwusiecznych kątów utworzonych przez proste zawierające przekątne tego czworokąta.

XXVI - III - Zadanie 5

Dowieść, że trójkąt o kącie $ \alpha $ można wpisać w koło o promieniu $ R $ i opisać na kole o promieniu $ r $ wtedy i tylko wtedy, gdy

\[<br /> \frac{2R}{r} \geq \frac{1}{\sin \frac{\alpha}{2}\left( \frac{\alpha}{2}\right)}<br /> \]

XXVI - II - Zadanie 2

W czworokącie wypukłym $ ABCD $ na, bokach przyległych $ \overline{AB} $ i $ \overline{BC} $ obrano odpowiednie punkty $ M $ i $ N $ oraz oznaczono przez 0 punkt przecięcia odcinków $ AN $ i $ GM $. Dowieść, że jeżeli w czworokąty $ AOCD $ oraz $ BMON $ można wpisać koła, to w czworokąt $ ABCD $ też można wpisać koło.

XXVI - I - Zadanie 10

Niech $ \alpha $ będzie liczbą niewymierną, $ A_1 $ - punktem okręgu $ S $ o środku $ O $. Rozważmy ciąg nieskończony $ A_n $ punktów okręgu $ S $, w którym punkt $ A_{k+1} $ jest obrazem punktu $ A_k $ w obrocie dookoła punktu $ O $ o kąt $ \alpha m $. Dowieść, że każdy łuk okręgu $ S $ zawiera pewne punkty ciągu $ A_n $.

XXVI - I - Zadanie 8

Dany jest trójkąt ostrokątny $ ABC $. Dopisujemy do niego na zewnątrz dwa trójkąty równoboczne $ ABC' $ i $ ACB' $. Niech $ K $ i $ L $ będą środkami boków $ \overline{AC'} $ i $ \overline{B'C} $ odpowiednio, a $ M $ - takim punktem odcinka $ \overline{BC} $, że $ BM = 3MC $.
Udowodnić, że kąty trójkąta $ KLM $ są równe $ 90^\circ $, $ 60^\circ $, $ 30^\circ $.

XXVI - I - Zadanie 2

W czworokącie płaskim wypukłym $ ABCD $ wybrano na bokach przeciwległych $ \overline{AB} $ i $ \overline{GD} $ punkty $ P $ i $ B $, zaś na bokach przeciwległych $ \overline{AD} $ i $ \overline{BC} $ punkty $ Q $ i $ S $ w ten sposób, że $ \frac{AP}{PB} = \frac{DR}{RC} = a $, $ \frac{AQ}{QD} = \frac{BS}{SC} = b $. Dowieść, że jeżeli $ O $ jest punktem przecięcia odcinków $ \overline{PR} $ i $ \overline{QS} $, to $ \frac{PO}{OR} = b $ oraz $ \frac{QO}{OS} = a $.

XXVII OM - III - Zadanie 4

Przekątne pewnego czworokąta płaskiego, którego kolejne boki mają długości $ a, b, c, d $, są prostopadłe. Udowodnić, że przekątne dowolnego czworokąta płaskiego, którego kolejne boki maj, długości $ a, b, c, d $, są prostopadłe.

XXVII OM - II - Zadanie 6

Na płaszczyźnie umieszczono sześć punktów w ten sposób, że każde trzy spośród nich są wierzchołkami trójkąta o bokach różnej długości. Udowodnić, że najkrótszy bok pewnego z tych trójkątów jest zarazem najdłuższym bokiem innego z nich.

XXVII OM - II - Zadanie 4

Wewnątrz okręgu $ S $ umieszczono okrąg $ T $ oraz okręgi $ K_1, K_2, \ldots, K_n $ styczne zewnętrznie do $ T $ i wewnętrznie do $ S $, przy tym okrąg $ K_1 $ jest styczny do $ K_2 $, $ K_2 $ styczny do $ K_3 $ itd. Udowodnić, że punkty styczności okręgów $ K_1 $ z $ K_2 $, $ K_2 $ z $ K_3 $ itd. leżą na okręgu.

Subskrybuje zawartość