2000-2009

I MEMO - Zadanie 1

Dodatnie liczby rzeczywiste $a$ , $b$ , $c$ , $d$ spełniają warunek

$ a+b+c+d=4. $

Wykazać, że

$ a^2bc+b^2cd+c^2da+d^2ab\le 4. $

Załącznik	Wielkość
I MEMO - Zadania z rozwiązaniami	147.6 KB

XVIII ZMPB - Zadanie 20

Niech $a$ i $b$ będą takimi dodatnimi liczbami całkowitymi, że $b<a$ oraz liczba $a^3+b^3+ab$ jest podzielna przez $ab(a-b)$ . Udowodnić, że $ab$ jest sześcianem liczby całkowitej.

XVIII ZMPB - Zadanie 19

Dane są dodatnie liczby całkowite $r$ i $k$ . Wszystkie dzielniki pierwsze liczby $r$ są większe od 50.

Dodatnią liczbę całkowitą, której zapis dziesiętny (bez zer początkowych) ma co najmniej $k$ cyfr, nazwiemy ładną, jeżeli każdy ciąg $k$ kolejnych cyfr tego zapisu przedstawia liczbę (być może z zerami początkowymi) podzielną przez $r$ .

Dowieść, że jeżeli istnieje nieskończenie wiele liczb ładnych, to liczba $10^k-1$ też jest ładna.

XVIII ZMPB - Zadanie 18

Niech $a$ , $b$ , $c$ , $d$ będą takimi liczbami całkowitymi różnymi od zera, że jedyną czwórką liczb całkowitych $(x,y,z,t)$ spełniającą równanie

$ ax^2+by^2+cz^2+dt^2=0 $

jest $x=y=z=t=0$ . Czy wynika stąd, że liczby $a$ , $b$ , $c$ , $d$ mają jednakowy znak?

XVIII ZMPB - Zadanie 17

Niech $x$ , $y$ , $z$ będą takimi dodatnimi liczbami całkowitymi, że liczba

$ {x+1\over y}+{y+1\over z}+{z+1\over x} $

jest całkowita. Niech $d$ oznacza największy wspólny dzielnik liczb $x$ , $y$ oraz $z$ . Udowodnić, że

$ d\le\sqrt[3]{xy+yz+zx}. $

XVIII ZMPB - Zadanie 16

Niech $a$ i $b$ będą takimi liczbami wymiernymi, że

$ s=a+b=a^2+b^2. $

Wykazać, że liczbę $s$ można zapisać w postaci ułamka, którego mianownik jest względnie pierwszy z liczbą 6.

XVIII ZMPB - Zadanie 14

W czworokącie wypukłym $ABCD$ zachodzi równość $\measuredangle ADC=90^\circ$ . Punkty $E$ i $F$ są rzutami prostokątnymi punktu $B$ odpowiednio na proste $AD$ i $AC$ . Załóżmy, że punkt $F$ leży między $A$ i $C$ , punkt $A$ leży między $D$ i $E$ , zaś prosta $EF$ przechodzi przez środek odcinka $BD$ . Dowieść, że na czworokącie $ABCD$ można opisać okrąg.

XVIII ZMPB - Zadanie 13

Niech $t_1$ , $t_2$ , $\ldots$ , $t_k$ będą różnymi prostymi w przestrzeni ( $k>1$ ). Udowodnić, że istnieją takie punkty $P_i$ na $t_i$ ( $i=1,2,\ldots,k$ ), że $P_{i+1}$ jest rzutem prostokątnym $P_i$ na prostą $t_{i+1}$ ( $i=1,2,\ldots,k-1$ ), a $P_1$ jest rzutem prostokątnym $P_k$ na prostą $t_1$ .}

XVIII ZMPB - Zadanie 12

Punkt $M$ leży na tym łuku $AB$ okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ , który nie zawiera punktu $C$ . Załóżmy, że rzuty prostokątne punktu $M$ na proste $AB$ i $BC$ leżą na samych bokach, a nie na ich przedłużeniach. Oznaczmy te rzuty odpowiednio przez $X$ i $Y$ . Niech $K$ i $N$ będą odpowiednio środkami odcinków $AC$ i $XY$ . Dowieść, że $\measuredangle MNK=90^\circ$ .