1990-1999

XLIX OM - I - Zadanie 2

Proste zawierające wysokości trójkąta $ ABC $, wpisanego w okrąg o środku $ O $, przecinają się w punkcie $ H $, przy czym $ |AO| =|AH| $. Obliczyć miarę kąta $ CAB $.

XLVIII OM - III - Zadanie 6

Na okręgu o promieniu $ 1 $ leży $ n $ różnych punktów ($ n \geq 2 $). Niech $ q $ będzie liczbą odcinków o końcach w tych punktach i długości większej niż $ \sqrt{2} $. Dowieść, że $ 3q \leq n^2 $.

XLVIII OM - III - Zadanie 5

Dany jest pięciokąt wypukły $ ABCDE $, w którym $ DC = DE $ oraz $ \measuredangle DCB =\measuredangle DEA = 90^\circ $. Niech $ F $ będzie punktem boku $ AB $ wyznaczonym przez warunek $ AF: BF = AE: BC $. Udowodnić, że $ \measuredangle FCE = \measuredangle ADE $ oraz $ \measuredangle FEC= \measuredangle BDC $.

XLVIII OM - III - Zadanie 4

Ciąg $ a_1, a_2, a_3,\ldots $ jest określony wzorami

\[<br /> a_1 = 0, \quad a_n = a_{[n/2]} + (-1)^{n(n+1)/2}\quad \textrm{dla}\ n > 1.<br /> \]

Dla każdej liczby całkowitej $ k \geq 0 $ wyznaczyć liczbę numerów $ n $ spełniających warunki

\[<br /> 2^k \leq n < 2^{k+1}, \qquad a_n = 0.<br /> \]

Uwaga: $ [n/2] $ jest największą liczbą całkowitą nie przekraczającą $ n/2 $.

XLVIII OM - III - Zadanie 3

Środkowe ścian bocznych $ ABD $, $ ACD $, $ BCD $ ostrosłupa $ ABCD $ poprowadzone z wierzchołka $ D $ tworzą równe kąty z krawędziami, do których zostały poprowadzone. Wykazać, że pole każdej ściany bocznej jest mniejsze od sumy pól pozostałych dwóch ścian bocznych.

XLVIII OM - III - Zadanie 2

Znaleźć wszystkie trójki liczb rzeczywistych $ x $, $ y $, $ z $ spełniające układ równań

\[<br /> \left\{<br /> \begin{array}{c}<br /> 3(x^2+y^2+z^2)=1\\<br /> x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = xyz(x + y + z)^3.<br /> \end{array}\right.<br /> \]

XLVIII OM - III - Zadanie 1

Liczby całkowite dodatnie $ x_1 $, $ x_2 $, $ x_3 $, $ x_4 $, $ x_5 $, $ x_6 $, $ x_7 $ spełniają warunki:

\[<br /> x_6 = 144\ \textrm{oraz}\ x_{n+3} = x_{n+2}(x_{n+1} + x_n) \ \textrm{dla} \ n = 1, 2, 3,4.<br /> \]

Wyznaczyć $ x_7 $.

XLVIII OM - II - Zadanie 6

W sześcianie o krawędzi długości $ 1 $ leży osiem punktów. Wykazać, że pewne dwa z nich są końcami odcinka o długości nie większej niż $ 1 $.

XLVIII OM - II - Zadanie 5

Rzucamy $ k $ kostkami sześciennymi białymi i $ m $ czarnymi. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że reszta z dzielenia przez $ 7 $ łącznej liczby oczek wyrzuconych na kostkach białych jest równa reszcie z dzielenia przez $ 7 $ łącznej liczby oczek wyrzuconych na kostkach czarnych.

Subskrybuje zawartość